Extremwerte

Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina

Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt. Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x$n-1 Tipp: Zum Nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst und was eine Ableitung ist, findest du hier nochmal einen nützlichen Lernpfad. Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f. Ableitung f '(t) anzeigen Ableitung f '(t) verstecken $f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$ Zur Bestimmung der Koordinaten der möglichen Extremwerte: Man setzt f '(t) = 0, erhält eine quadratische Gleichung, löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen , und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E1 und E2. Errechne nun die Koordinaten an denen es eine waagrechte Tangente gibt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ $t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen (rot eingezeichnet).

Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten Man bestimmt die zweite Ableitung, setzt die errechneten t - Werte ein und überprüft, ob f ' ' (t) < 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung bzw Rechtskurve $\Rightarrow$ relatives Maximum > 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung bzw Linkskurve $\Rightarrow$ relatives Minimum Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Punkt um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. Bei solche einem Punkt handelt es sich um keinen Extremwert. Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$ $f ''(2a) = \frac{3}{2} \cdot 2a - 2a = a$ da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum $f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}a - 2a = - a$ da a größer als Null definiert ist, gilt $\rightarrow$ - (a) < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 2: h - Methode Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" der waagrechten Tangente verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt $\lim_{h\to0} f '(t_0 - h)$ und $\lim_{h\to0} f '( t_0 + h)$ ein. Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom möglichen Extremwert. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$ $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$ Graphische Vorstellung: $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum, da links von t = 2a der Graph fällt. da rechts von t = 2a der Graph steigt. $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum da links von $t = \frac{2}{3}a$ der Graph steigt. da rechts von $t =\frac{2}{3}a$ der Graph fällt.

Lösung 3: Vorzeichentabelle

Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als $f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot \left( x - t_2 \right)$, geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird. Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch Multiplikation der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte. Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) \cdot \left( x - \frac{2}{3}a \right)$ Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf

$\Rightarrow$ Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass $E_1 \left( 2a / 0 \right)$ Minimum und $E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ Maximum ist. E₂ ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für $t \rightarrow +\infty$ die Funktionswerte gegen $+ \infty$ gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E₂. Das Minimum E₁ kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.

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