reine Stimmung2

Der Aufbau der reinen Stimmung

Am Beispiel der Tonart C-Dur werde ich den Aufbau der natürlichen Skala beschreiben.
Wir starten beim Ton C und gehen nun eine reine Quinte aufwärts.
Die reine Quinte hat das bekannte Verhältnis 3:2. Da sich Quinte und Quarte zu einer Oktave ergänzen folgt analog für die Quarte das Verhältnis 4:3 und für die Oktave 2:1.
Wenn wir die größtmögliche Zahl konsonanter Intervalle erhalten wollen stehen uns für das nächste Intervall 2 Schritte zur Verfügung: die große Terz mit dem Verhältnis 5:4 oder die kleine Terz mit dem Verhältnis 6:5. „Wir wählen den ersten, weil dieser eine größere Anzahl von Konsonanzen höheren „Grades“ garantiert.“
„Je niedriger die im Frequenzverhältnis vorkommenden Zahlen umso höher ist die subjektiv empfundene Konsonanz“

Intervall	Frequenzverhältnis	größte vorkommende Zahl
Prime	1 : 1	1
Oktave	2 : 1	2
Quinte	3 : 2	3
Quarte	4 : 3	4
Große Terz	5 : 4	5
Kleine Terz	6 : 5	6

Die Terz mit dem Verhältnis 5:4 entspricht der großen Terz, also der Durterz. Das Verhältnis 6:5 entspricht der kleinen Terz, der Mollterz.
In der natürlichen Stimmung ergänzen sich große und kleine Terz zu einer Quinte.

$gT + kT = Q;$

$\frac {5}{4}\cdot \frac {6}{5} = \frac {3}{2};$

Den großen Ganzton erhält man, wenn man 2 Quinten nach oben geht und eine Oktave nach unten (vgl. pythagoreische Stimmung)

$Q + Q - Ok = 2Q - Ok = \frac {\frac {3}{2}^2}{\frac {2}{1}}= \frac {9}{8};$

Der kleine Ganzton ergibt sich, wenn man von der großen Terz einen Ganzton abzieht, oder eine Oktave und große Terz nach oben geht und dann 2 Quinten nach unten geht.

$gT - G = \frac {\frac {5}{4}}{\frac {9}{8}} = \frac {5}{4} \cdot \frac {8}{9} = \frac {10}{9};$

$Ok + gt - Q - Q = Ok +gt - 2Q = \frac {\frac {2}{1} \cdot \frac {5}{4}} {\frac {3}{2}^2} = \frac {10}{9};$

Die (große) Sexte erreicht man, wenn man eine Oktave und eine große Terz nach oben geht und anschließend eine Quinte nach unten:

$Ok + gT - Q = \frac {\frac{2}{1} \cdot \frac {5}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}$

Die 7. Stufe der Dur-Tonleiter, die kleine Septime, ergibt sich, wenn man auf die Quinte eine große Terz setzt.

Q + gT = große Septime = $\frac {3}{2} \cdot \frac {5}{4} = \frac {15}{8};$

Damit ergibt sich für die C-Dur Tonleiter folgendes Bild:



Damit ergibt sich die fortlaufende Proportion (in Hertz):

c	d	e	f	g	a	h	c'
24	27	30	32	36	40	45	48

die wie folgt entsteht:

Für c wird die Frequenz 24 Hertz (H(c) = 24 Hertz) festgelegt. Von hier rechnet man die Frequenzen der Tonleiter aus. Also für die Quinte g gilt:

$H(c) \cdot \frac {3}{2} = 24 \ Hertz \cdot \frac {3}{2} = 36 \ Hertz$.
Analog dazu werden die anderen Schritte berechnet.

Eine fortlaufende Proportion wird immer durch die kleinst möglichsten ganzzahligen Verhältnisse der Frequenzen gebildet. (In diesem Fall aufbauend auf 24 Hertz).

Nun müsste die Quinte, von der 2. auf die 6. Stufe (d-a), die durch die Verhältniszahlen 27 und 40 ausgedrückt wird, dem Quintverhältnis 2:3 entsprechen. Wenn man es jedoch durch eine Rechnung nachprüfen will ergibt sich folgendes:

$27 \cdot \frac {3}{2} = 40,5;$
d.h. die Quinte zwischen d und a ist zu klein. Das Verhältnis beträgt: $\textstyle \frac {40}{27}$ = $\textstyle {2{,}962962...}{2}$;

„Das Verhältnis der reinen Quinte zur „kurzen“ Quinte lautet also $\textstyle \frac {40{,}5}{40}$ oder (erweitert) $\textstyle \frac {81}{80}$“

Diese Abweichung wird das syntonische Komma genannt.

Die Gleichung: $\frac {81}{80} = 2^x \cdot \frac {3}{2}^y \cdot \frac {5}{4}^z \ fuer \ x , y , z \in \Z$ hat die eindeutige Lösung, als "Tripellogarithmus" bezeichnet: x = -2, y = 4 und z = -1.

Damit gilt für das Intervall i mit dem Frequenzverhältnis $\textstyle \frac {81}{80}$ die Beziehung $i = - 2 \cdot Ok + 4 \cdot Q - T$. (Siehe synthonisches Komma).

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2
Große Terz	T (Grundintervall)	5:4
Quarte	Ok - Q	4:3
Kleine Sext	Ok - T	8:5
Kleine Terz	Q - T	6:5
Große Sext	Ok - (Q - T) = Ok + T - Q	5:3
(Großer) Ganzton	Q + Q - Ok	9:8
Kleiner Ganzton	T - G = Ok + T - Q - Q	10:9
Kleine Septime (1. Möglichkeit)	Ok - Ganzton = 2Ok - 2Q	16:9
Kleine Septime (2. Möglichkeit)	Ok - (kleiner Ganzton) = Q + Q - T	9:5
Halbton	Quarte - T = Ok - Q - T	16:15
Große Septime	Ok - Halbton = Q + T	15:8
Syntonisches Komma	2Ganztöne - T = 4Q - 2Ok - T	81:80

Eine bekannte Orgel, die in reiner Stimmung gestimmt ist, ist die Praetoriusorgel der Universität Freiburg. Um einen Einblick in die Klangwelt der reinen Stimmung zu bekommen findet sich hier eine Aufnahme von dieser Orgel. (Wer noch mehr Aufnahmen wünscht wird hier fündig)

Wie deutlich wurde gibt es sowohl bei pythagoreischer Stimmung als auch bei der natürlichen Stimmung ein Problem mit den reinen Quinten.
Es fiel auf das man eine Oktave (a, a') in keiner Weise, durch wie viele Töne auch immer teilen kann, dass das System das dabei entsteht sowohl Quinten – als auch Oktaven-vollständig ist.
Dies wollen wir nun mathematisch Beweisen.

zum Beweis und Erweiterung des Tonraums
zur gleichstufig temperierten Stimmung

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