Kettenbrüche

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Kettenbrüche:



„Jede reelle Zahl x element R kann auf genau eine Art durch einen Kettenbruch dargestellt werden. Der Kettenbruch ist endlich, wenn die Zahl rational ist und unendlich, wenn sie irrational ist.“[1]

Ich werde hier hautptsächlich auf die Kettenbruchentwicklung der irrationalen Zahlen eingehen, denn die Intervallverhältnisse sind ja (mit Ausnahme von Prime und Oktave) irrationale Zahlen.

Doch was ist ein Kettenbruch?

Im folgenden werde ich die wichtigsten Eigenschaften, vor allem in Hinsicht auf ihre musikalische Anwendung beschreiben. Eine ausführliche Beschreibung findet sich hier.

Man kann jede reelle Zahl x ≥ 0 mit x = a_0 + r_0 für a_0 \in \N_0 , 0 ≤ r_0 ≤ 1;

Bsp: In unserem Fall z.B die irrationale (algebraische) Zahl \sqrt {2}

 \sqrt {2} = 1,414213562..... = 1 + 0,414213562.... a_0 ist das größte Ganze und r_0 der Rest von x.

Für r_0 > 0 , gilt: \textstyle \frac {1}{r_0} > 1.

Daraus folgt:

\frac {1}{r_0} = a_1 + r_1 \ fuer \ a_1 \in \N, \ 0 \le r_1 \le 1;
Hierfür erhalten wir:


x = a_0 + \frac {1}{a_1 + r_1} ;[2]

Beispiel:

\textstyle \frac {1}{0,414213562}... = 2 + 0,414213565...

\sqrt {2} = 1 + \textstyle \frac {1}{2 + 0,414213565...}

für  r_1 = 0 gilt a_1 > 0 damit ist der Kettenbruch endlich.

x = a_o + \frac {1}{a_1};

wenn für r_1 aber gilt: r_1 >0 dann ergibt sich:


\frac {1}{r_1} = a_2 + r_2 \ mit \ a_2 \in \N, 0 \le r_2 < 1;

 x = a_0 + \frac {1}{\frac {a_1 + 1}{a_2 + r_2}};

solange gilt r_n > 0 lässt sich das ganze ins unendliche fortführen.

Wenn x irrational ist, kann die Kettenbruchentwicklung periodisch sein.

(a_{n+k} = a_n \ mit \ k \in N_0)

Dies trifft genau dann zu, wenn x die reelle Lösung einer quadratischen Gleichung a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \ mit \ a,b,c \in \Z \ mit \ a \not= 0
und insbesondere eine algebraische Zahl ist.
Transzendente Zahlen haben keine periodische Kettenbruchentwicklung (Bsp. \pi)

Die für uns intressante Eigenschaft der Kettenbrüche ist:

Wenn \textstyle k \in N_0 eine gerade Zahl ist, so gilt:

q0 < q2 < … < qk  \le x \le qk+1 < … < q3 < q1;


Und \ fuer \ q_k = \frac {Z}{N}; Z \in \N_0, N \in \N

für 0 < n ≤ N gilt für ganze Zahlen z

|x – \textstyle \frac {z}{n} | ≥ |x – \textstyle \frac {Z}{N}|;

In Worten ausgedrückt: keine rationale Zahl mit einem Nenner > N, approximiert x besser als qk.Referenzfehler: Für ein <ref>-Tag fehlt ein schließendes </ref>-Tag.</ref>

Nun wollen wir die reine und die gleichstufig temperierte Tonskala hier in C-Dur) betrachten:

Ketnattemp.png

x gibt dabei die Anzahl der Halbtöne an (vgl Grafik temperierte Stimmung)
y ist die musikalische Tonbezeichnung
H(y) ist das Verhältnis der Tonhöhe zu H(c).

Hier erkennt man, dass die reine Tonskala sich aus der nur mathematisch begründeten gleichstufig temperierten Stimmung durch das Prinzip der Kettenbruch-Approximation ableiten lässt.

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  1. http://www.uni-giessen.de/tomas.sauer/Skripten/Kettenbrueche.pdf [Stand 2010-12-18]
  2. vgl. Reimer S.42 f.