Quintenzirkel

Exkurs: Division mit Rest:

„Ist eine Zahl $\textstyle n \in \Z$ gegeben und ist $\textstyle m \in \N$, m ≠ 1, eine weiter Zahl, der Divirsor, so kann man n durch m mit Rest dividieren. Das heißt, es gibt eine Zahl k Element Z und einen Rest r, r Element {0, 1, … , m – 1}, so daß

                                              n = k $\cdot$ m + r

gilt.“

Beispiel:

Für n = 25 und m = 7:

25 = 3 $\cdot$ 7 + 4; mit 4 $\textstyle \in$ {0,1,2,3,4,5,6};

Dafür schreibt man: n ≡ r mod (m);

Für alle Töne t der Oktavfolge {…,c,c',...} gilt:

Φ(t) = k $\cdot$ 12 + 0

Für alle Töne der Oktavfolge {…,cis,cis',...}:

Φ(t) = k $\cdot$ 12 +1

„Allgemein wird also der Ton u, das heißt die Oktavfolge {u}, durch den (kleinsten nichtnegativen) Divisionsrest r bei Division durch 12 gekennzeichnet, also durch die für alle Töne der Folge mit einem r Element {0,1,...,11} gemeinsam geltende Kongruenz

Φ(u) ≡ r mod (12).“

u entspricht dem in unserem Beispiel benannten t.

Nun wollen wir die iterierten Quinten über dem Ton c betrachten.
Es sind die Töne t für die Φ(t) = k $\cdot$ 7 für k = (0),1,2,... gilt.
Dies sind die Töne die die Kongruenz Φ(t) ≡ 0 mod (7) lösen.

Wenn wir nun k Element [0;12] einsetzen erhalten wir folgendes:

 0 $\cdot$ 7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c}

 1 $\cdot$ 7 ≡ 7 mod (12) bedeutet {g}
 2 $\cdot$ 7 ≡ 2 mod (12) bedeutet {d}
 3 $\cdot$ 7 ≡ 9 mod (12) bedeutet {a}
 4 $\cdot$ 7 ≡ 4 mod (12) bedeutet {e}
 5 $\cdot$ 7 ≡ 11 mod (12) bedeutet {h}
 6 $\cdot$ 7 ≡ 6 mod (12) bedeutet {fis}
 7 $\cdot$ 7 ≡ 1 mod (12) bedeutet {cis}
 8 $\cdot$ 7 ≡ 8 mod (12) bedeutet {gis}
 9 $\cdot$ 7 ≡ 3 mod (12) bedeutet {dis}
10 $\cdot$ 7 ≡ 10 mod (12) bedeutet {ais}
11 $\cdot$ 7 ≡ 5 mod (12) bedeutet {f}

12 $\cdot$ 7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c}

Wir sehen, dass jeder Rest mod (12) nur einmal vorkommt und dabei die Werte 0,1,...,11 annimmt, wobei man für k = 12 wieder am Ausgangston angekommen ist.
Die Reihenfolge ergibt den uns bekannten Quintenzirkel




Hinter dem Quintenzirkel steht aus mathematischer Sicht der sogenannte Chinesischen Restsatz (Beweis des Satzes).

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