Mathematische Definition des Tonsystems

Mathematische Definition des Tonsystems

Als erstes muss der Tonraumbegriff definiert werden: „Töne sind Elemente, welche in einer Menge zusammengefaßt werden. Jeder Ton ist durch eine endliche Folge von Tonparametern charakterisiert, deren erster die Tonhöhe des Tons festhält; verschiedene Tonhöhen haben verschiedene Parameterfolgen (Gegeben ist eine injektive Abbildung P, die jedem Ton seine Parameterfolge P(t) zuordnet. Falls P(t) n Glieder hat, schreiben wir P(t)=(P(t)1,...,P(t)n)“.

t wird hier als Tonhöhe bezeichnet.
Variablen von Tönen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. (A,B,C...)

Nun folgt der Begriff des Komparativs (Anm. mathematisch richtige Bezeichnungen hierfür sind asymetrische und transitive Relation oder strikte Halbordnung) (>), der folgende Gesetze erfüllt:
für x > y, gilt unter keinen Umständen y > x;
für x > y und y > z gilt: x > z;
Ebenso gilt das Gegenteil des Komparativs (Anm. inverse Relation) (<).
Der Komparativ findet seine Verwendung im Tonhöhenaxiom: „Töne werden mit dem Komparativ 'höher' verglichen, wobei von zwei Tönen verschiedener Tonhöhe einer von beiden höher als der andere ist.“
Das heißt für uns wenn H(A) ≠ H(B) → A > B oder B>A. H ist die Tonhöhe eines Tones.
Ebenso gilt das Gegenteil dieses Tonhöhenaxioms (H(A) ≠ H(B) →A< B oder B<A; das kleiner bedeutet in diesem Fall tiefer).
Wenn beide Töne die gleiche Tonhöhe haben gilt: A~B → H(A) = H(B).

Da der oben definierte Tonbegriff nicht ausreicht, wenn man die Beziehung zwischen zwei Tönen betrachten will, muss nun einen weiteren Begriff eingeführt werden, den Begriff der Intervalls.

Der Abstand von einem Ton zu einem anderen ist ein eindeutiger Höhenunterschied und wird mit dem Begriff Intervall i bezeichnet. Dabei ist i=AB

Konkrekt heißt das (In diesem Fall stellt A die Tonbezeichnung für den Ton A da und nicht die Variable): Wenn wir auf den Grundton A zuerst eine Quarte Qua und anschließend auf den Endton einen Ganzton Gt intonieren, so ergibt sich als Ergebnis ein E. Also gilt E = (A + Qua) + Gt = A + (Qua + Gt) = A + Q für Q = Qua + Gt;

Der Intervallraum ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Diese Gruppe ist nach dem Satz von Hölder isomorph zu einer additiven Teilgruppe der reelen Zahlen“

Der Beweis findet sich hier

2 Töne, A und B bestimmen immer ein Intervall i = AB. Dabei gilt A „Grundton“ und B „Endton“
So ist z.B. für A = c und B = f die Quarte AB bestimmt

Im folgenden Abschnitt sind A und B zwei Variablen für 2 beliebige Töne.

Weiter gilt, dass wenn der Endton B und das Intervall i bekannt sind, für den Grundton A: A = B - i;

Die Addition zweier Intervalle verläuft nach folgendem Schema:

i= AB und j = BC; dann ist die Summe der beiden Intervalle i + j = AC

2 Intervalle können auch verglichen werden. Wenn wir j < i schreiben, dann bedeutet das, dass der Endton des Intervall j kleiner ist, als der des Intervall i, wobei der Grundton beider Intervalle gleich ist. Zum Beispiel gilt: Qua < Qui;

Nun betrachten wir den Tonraum (T,I,+,<)

I ist die Menge der Intervalle, wobei die Variablen von Intervallen mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden (i,j...).

Da die Menge der Intervalle eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist, gelten die folgenden Gesetze:

(1) Die Abgeschlossenheit: Zwei Intervalle I und j ergeben durch Addition i + j wieder ein neues Intervall k
(2) Das Assoziativgesetz: (i + j)+ k = i+(j + k)
(3) Ebenso das Kommutativgesetz: i + j = j + i
(4) Die Exsistenz des Nullelementes und Inversen: i+x=j hat immer eine eindeutige Lösung, x=j-i. (das sogenannte Nullintervall, die Prim, ist durch o: i+o=i definiert und auch das zu jedem Intervall zugehörige inverse Intervall -i mit i+(-i)=o)
(5) Die Trichotomie: Es gilt immer: i < j, i=j oder i>j
(6) Transitiv: Aus i < j und j<j folgt i < k
(7) Die Monotonie: Für i < j gilt i + k < j + k
(8) Das Archimedische Gesetz: Es gibt zu jedem i und j mit 0 < i < j eine natürliche Zahl n, mit der gilt: n $\cdot$ i > j, wobei das Intervall n $\cdot$ i durch n-maliges Addieren des Intervalls I erhalten wird.

Da T ein „affiner“ Raum über I ist gilt:

(9) Genau zwei Töne, A und B, bestimmen ein Intervall i. i = AB (Vektor)
(10) Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B (i = AB), für den gilt: B = A+i.
(11) Es gilt: A+(i+j)= (A+i)+j oder anders geschrieben: AB + BC =AC

"Beweis der Gleichwertigkeit:

Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.
"=>"	Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I.
	Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11))
	= B+ j=C.
	Somit AC=i+j=AB+BC
"<="	Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T
	Gegeben sei A ε T und i,j El I.
	Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:
	(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:
	A+(i+j)=(A+i)+j
	q.e.d."

Eine Tonleiter ist eine Anwendung des Tonraums. Der komplette Tonraum ist unübersichtlich, da er unendlich viele Töne enthält. Deshalb wird für die Praxis das Tonmaterial eingeschränkt.
„Eine Tonleiter ist eine endliche Tonfolge, bei der entweder jeder Ton tiefer als der folgende oder aber jeder Ton höher als der folgende ist. Die Töne einer Tonleiter heißen Stufen: die n-te Stufe einer Tonleiter ist ihr n-ter Ton. “

Betrachtung des Intervallbegriffs aus musikalischer Sicht

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