2004 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Analytische Geometrie V Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen von Ludwig Deufert, Emanuel Eirich und Simon Markfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Punkte A(-2|5|-2), B(1|2|-2), C(10|5|1) sowie die Ebene E: x1 + x2 - 4 x3 + 7 = 0 gegeben.

Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist, und berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M. Legen Sie ein Koordinatensystem an (Querformat, Ursprung in Seitenmitte) und tragen Sie das Parallelogramm ABCD sowie den Punkt M ein. [Zur Kontrolle: M(4|5|-0,5)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichnung anzeigen Zeichnung verstecken b) Zeigen Sie, dass das Parallelogramm ABCD in einer Parallelebene zur Ebene E liegt, die nicht mit E identisch ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Die Parallelogrammfläche schneidet die x1x2-Ebene in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte der Punkte G und H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein. [Zur Kontrolle: (4|7|0) und (7|4|0)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichnung anzeigen Zeichnung verstecken Andere Lösung anzeigen Andere Lösung verstecken Die Punkte G und H liegen in Verlängerung der Parallelogrammseiten. Man stellt die Gerade durch A und B auf. $\vec a + \vec AB = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ liefert keine Lösung, da die dritte Koordinate nicht Null werden kann. Analog dazu die Gerade durch C und D $\vec c + \vec CD = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ Das Gleiche macht man nun mit Gerade durch A und D $\vec a + \vec AD = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ und erhält für x = 4 und für y = 7 $\Rightarrow \vec{p1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}$. Nun folgt die andere Gerade durch B und C $\vec b + \vec BC = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$. Als Lösungen erhält man für x = 7 und für y = 4 $\Rightarrow \vec{p2} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ aus dem Grund, da bei allen Punkten in der x1,2 Ebene, die z - Koordinate Null ist. x und y sind frei wählbar. Somit liegen alle Punkte, deren z = 0 ist, immer in der x1,2 Ebene. d) In welchem Verhältnis wird die Fläche des Parallelogramms durch die x1x2-Ebene geteilt? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 a) S ist der Punkt in E, der vom Diagonalenschnittpunkt M den geringsten Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie die Pyramide ABCDS in Ihre Zeichnung ein. [Zur Kontrolle: S(3|4|3,5)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichnung anzeigen Zeichnung verstecken b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 S' sei der Spiegelpunkt von S bezüglich der Ebene, in der das Parallelogramm ABCD liegt. a) Berechnen Sie die Koordinaten von S' und tragen Sie S' in die Zeichnung ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichnung anzeigen Zeichnung verstecken In S' sein eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Die Parallelogrammfläche sei lichtundurchlässig. Die Lichtquelle erzeugt von diesem Parallelogramm in der Ebene E das Schattenbild A'B'C'D'. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes A' von A. Tragen Sie ohne weitere Rechnung das Bildviereck A'B'C'D' in die Zeichnung ein [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Zeichnung anzeigen Zeichnung verstecken