2004 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern Erarbeitet von Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2}$ mit der maximalen Definitionsmenge Dk und k $\in$ IR. Gk bezeichnet den Graphen von fk. a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge Dk. Untersuchen Sie für k $\neq$ 0 das Verhalten von fk für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Kleine Verbesserung: In der letzten Zeile muss es statt y=... x=+/-$\sqrt{1/k}$ heißen, da diejenigen Stellen beschrieben werden, an denen senkrechte Asymptoten auftreten. 6 BE b) Zeigen Sie, dass gilt: $f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 }$. Begründen Sie, dass alle Graphen Gk einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE c) Skizzieren Sie G-1 und G1 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 7 BE d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von Gk für $k \to -\infty$ und $k \to 0$ jeweils verändert. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass Gk durch den Punkt P (1|2) verläuft. Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph Gk verläuft. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 6 BE

Aufgabe 2 Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 $\leq$ t $\leq$ 10 ist $v (t) = 7t * e^{-0,1t}$. Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t0 entspricht dem während der ersten t0 Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern). a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 8 BE Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben. b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE