2004 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Infinitestimalrechnung I ruth, vroni, julian

Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit $f_k:x\rightarrow 10(e^{-0,5x}-e^{-x})$. Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert. Aufgabe 1. Untersuchen Sie durch Rechnung a) das Verhalten von $f\,$ für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ Lösungen a [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) in welchen Intervallen die Funktionswerte von f positiv bzw. negativ sind, b [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. [Zur Kontrolle: H(2ln2/2.5)] c [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Aufgabe 2 Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x=0 eine bestimmte Menge eines Medikamentes verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden. Berechnen sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75% ihres Höchstwerts abgesunken ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Aufgabe 3 Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen $F a(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt$, a ∈ IR. betrachtet. Der Graph vob Fa wird mit Ga bezeichnet. a) Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von Ga ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung). [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von F0(x) und zeigen Sie, dass gilt: $\lim_{x \to \infty} \$ F0 (x) = 10 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G0. Skizzieren Sie G0 unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse. c Erklären Sie, warum jede Funktion Fa mit a>0 genau zwei Nullstellen hat. (explizite Berechnung der Nullstellen nicht verlangt) Erläutern Sie, warum es Funktionen Fa mit a<0 gibt, die genau eine Nullstelle haben. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]