2008 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig

Aufgabe 1 In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, λ ∈ IR gegeben. Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius $6\sqrt{5}$ und liegt in der Ebene E. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt. [Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1.Lösung 2.Lösung Bemerkung anzeigen Bemerkung verstecken Zu beweisen ist, dass P auf nicht innerhalb von k liegt. Deswegen muss als Bedingung: $\vert \overrightarrow {MP} \vert = r$ und nicht $\vert \overrightarrow {MP} \vert \le r$ gelten. b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.) [Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] 7 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bestimmung der Schnittpunkte 1. Lösung: g in k 2. Lösung: allgemeiner Geradenpunkt c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren $\vec PR$ und $\vec PT$ einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k. [Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] 4 BE Tipp anzeigen Tipp verstecken Stützpunkt der Geraden g spiegeln oder T und R spiegeln [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. Lösung 2. Lösung b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. Lösung Beweis: $\vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert$ $\vert \overrightarrow {TM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180} {;} \qquad \vert \overrightarrow {RM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180}$ $\Rightarrow \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert$ q.e.d. 2. Lösung c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus? 7 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt. 8 BE Tipp anzeigen Tipp verstecken Strahlensatz oder HNF [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. Lösung: Strahlensatz 2. Lösung: HNF 550px