2005 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Infinitesimalrechnung 1 Lösung von Daniel Greb, Sebastian Waldhäuser Angabe gesamte Lösung

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen $f_k (x)=(x^2 + 1 - k)e^-x$ mit $k \in R$ Der Graph von fk wird mit Gkbezeichnet. a) Untersuchen Sie fk auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von fk für $x\rightarrow -8$ und $x\rightarrow +8$. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 4 BE b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen Gk nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 4 BE c) Für welche Werte von k besitzt Gk mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von Gk mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion $w: x \rightarrow 2xe^-x$ mit $x \in R$ liegen. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 7 BE d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G1 und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G2 in die Abbildung ein. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 5 BE e) Bestätigen Sie, dass für k E |R gilt: $f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x)$ Der Grapg G1 begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichen Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt der obigen Beziehung. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 7 BE Aufgabe 2 In einer Fachzeitschrift war zu lesen: "Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbevölkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginnn des Jahres 2003 lebten bereits 6,274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginnn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt." a) Wieviele Kinder wurden 2003 im Durchschnitt näherungsweise pro Minute geboren? Wieviele Milliarden Menschen lebten zu Beginn des Jahres 2004? Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 4 BE b) Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl $N(j)$ der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel $N(j) = N(2003) x a^j-2003$ berechnen. Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde. Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 6 BE c) Bilden Sie die ABleitung der Funktion $N:j \rightarrow N(j),j\in [2003; +\infty [$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $N(j)$ und $N^(j)$? Lösung anzeigen Lösung verstecken 750px 3 BE (40 BE)