2005 I
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Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen fk(x)=(x2 + 1 - k)e-x mit k E |R Der Graph von fk wird mit Gkbezeichnet. a) Untersuchen Sie fk auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von fk für x->-8 und x->+8. 4 BE
b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen Gk nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen. 4 BE
c) Für welche Werte von k besitzt Gk mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von Gk mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x->2xe-x mit x E |R liegen. 7 BE
d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G1 und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G2 in die Abbildung ein.
e) Bestätigen Sie, dass für k E |R gilt: fk(x)=w(x)-
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