2009 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Analytische Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR. a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|-1|0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Fehler bei 2. HNF "-" fehlt Bemerkung: Normalenvektoren sind gleich, d.h. die Ebenen sind parallel. e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel $\varphi$ , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene Ea in einem Kreis? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]