2009 VI

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VI.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die

Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und

B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR.


a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.

[Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0]

ABI 2009 VI a Lös.jpg


b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F.

Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.
[Teilergebnis: r=5]

ABI 2009 VI b Lös.jpg


c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und
geben Sie deren Radius r´ an.
[Teilergebnis: M´(-7/4/12)]

ABI 2009 VI c Lös.jpg


d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des

Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

ABI 2009 VI d Lös.jpg


e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den

Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt-

kreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p?

[Teilergebnis: N(5/1/1) ]

ABI 2009 VI e Lös.jpg


f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines

schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen

Zylinders und den Winkel varpi , um den die Zylinderachse gegen die

Grundfläche geneigt ist.

ABI 2009 VI f Lös.jpg


g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´?

Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´

und die Ebene Ea in einem Kreis?

ABI 2009 VI g Lös.jpg