Lösung von Teilaufgabe c) 2.

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f₂ durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentengleichung

Hier rate ich wieder zur Verwendung der Tangentengleichung.

$y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )$

Zwar fehlen hier einige feste Werte, die man in die Gleichung einsetzen kann, doch diese hat man in allgemeiner Form durch die Funktion und die erste Ableitung gegeben.

$y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})$

$mit:\;$

$y = 0\;$

$x = 0\;$

$a = 2\;$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 + x_0 - 2 )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )\;\;\;\;\;\;\;\;|e^{4 - x_0}>0$

$\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0$

Nun hat man als Lösung eine Quadratische Gleichung erhalten.
Diese löst man am besten mit Hilfe der Mitternachtsformel.
Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}$

$= \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}= \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}$

$= \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}= {1\pm\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}$

Die beiden nun erhaltenen x-Werte müssen nun nur noch in die Funktion eingesetzt werden.

$f_a(x_1)=\;$

$= f_a(1 + \sqrt{3})\;$

$= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}$

$\approx 2{,}601$

$\Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)$

$f_a(x_2) =\;$

$= f_a(1 - \sqrt{3})\;$

$= ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}$

$\approx -310{,}164$

$\Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)$

Nachdem beide Berührpunkte nun einzeln gezeigt worden sind, hier eine Grafik in der Beide gleichzeitig zu sehen sind.