Lösung von Teilaufgabe c) 2.

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f₂ durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentengleichung

Hier rate ich wieder zur Verwendung der Tangentengleichung.
Zwar fehlen hier einige feste Werte die man in die Gleichung einsetzen könnte, dochdiese hat man in allgemeiner Form durch die Funktion und die Ableitung gegeben.

$y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )$

$y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})$

$mit:\;$

$y = 0\;$

$x = 0\;$

$a = 2\;$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 + x_0 - 2 )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )\;\;\;\;\;\;\;\;|e^{4 - x_0}>0$

$\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0$

Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}$

$= \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}= \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}$

$= \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}= {1\pm\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}$

$f_a(x_1)=\;$

$= f_a(1 + \sqrt{3})\;$

$= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}$

$\approx 2{,}601$

$\Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Ungültige Thumbnail-Parameter

$f_a(x_2) =\;$

$= f_a(1 - \sqrt{3})\;$

$= ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}$

$\approx -310{,}164$

$\Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)$

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