Extremwerte

Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Aufgabe: Extremwerte berechnen

Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt. Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x$n-1 Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f. Ableitung f '(t) anzeigen Ableitung f '(t) verstecken $f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$ Zur Bestimmung der Koordinaten der Extremwerte: Man setzt f '(t) = 0, erhält eine quadratische Gleichung, löst diese mit der Mitternachtsformel, und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E1 und E2. Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ $t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte liegen.

Aufgabe: Art der Extremwerte bestimmen

Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten an den Extremwerten Man bestimmt die zweite Ableitung, setzt die t - Werte der Extremwerte ein und überprüft, ob f ' ' (t - Koordinate Extremwert) < 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung bzw Rechtskurve $\Rightarrow$ relatives Maximum > 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung bzw Linkskurve $\Rightarrow$ relatives Minimum Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Extremwert um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat. Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$ $f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a$ da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum $f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a$ da a größer als Null definiert ist, gilt $\rightarrow$ - (a) < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 2: h - Methode Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt $\lim_{h\to0} f '(t_0 - h)$ und $\lim_{h\to0} f '( t_0 + h)$ ein. Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$ $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$ Graphische Vorzustellung: $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum, da links von t = 2a der Graph fällt. da rechts von t = 2a der Graph steigt. $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum da links von t = $\frac{2}{3}a$ der Graph steigt. da rechts von t = $\frac{2}{3}a$ der Graph fällt.

Lösung 3: Vorzeichentabelle

Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann dann auch als $f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)$, geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die t - Werte der Extrempunkte. Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte. Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right)$ Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf

Aufgabe: Wendepunkt