Lösung zur Teilaufgabe a

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ ; $a\in R$

lokal Extrempunkte

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot ^{a+2-x}$

Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]

                         $f_a^{'}(x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}\cdot( -1 ) + 1\cdot e^{a+2-x}$

                               $= e^{a+2-x}\cdot (( x - a )\cdot (-1) + 1 )$

                               $= e^{a+2-x}\cdot ( -x + a + 1 )$

                               $= e^{a+2-x}\cdot ( 1 + a - x )$

Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle. Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.

                          $f_a^{'}(x) = 0  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  |e^{a+2-x} > 0$

                    $( 1 + a - x ) = 0  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  |- 1 ; - a$ 

                             $-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ |\cdot (-1)$

                              $x = 1 + a \;$




              $y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}$ 

                                          $=  1\cdot e^{a + 2 - 1 - a )}$  

                                          $= 1\cdot e^1$

                                          $= e \;$

      Möglicher Extrempunkt  ( 1 + a / e )

Überprüfung des Extrempunkts

1. Möglichkeit

H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

$f_a^{'}( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h )\cdot e{a + 2 - ( 1 + a + h)}$

                                        $= ( 1 + a - 1 - a - h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a - h}$ 

                                        $= e^{1 - h}\cdot ( -h )$

                                        $= -h\cdot e^{1 - h}$


$\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a + h ) < 0$

$\rightarrow$  An der Stelle  fa' ( 1 + a + h ) fällt der Graph

f_a^' ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) e^{a + 2 - ( 1 + a - h)}

                                        = ( 1 + a - 1 - a + h ) ea + 2 - 1 - a + h 
                                        = e1 + h ( +h )
                                        = +h e1 + h

fa' ( 1 + a - h ) > 0

--> An der Stelle f_a^' ( 1 + a - h ) steigt der Graph

--> VZW bei x = 1 + a --> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum

zur Verdeutlichung

Monotonieverhalten

	x<1+a		x=1+a		x>1+a
ea + 2 - x		+		+
( 1 + a - x )		+		-
fa' ( x )		+		-

--> Maximum ( 1 + a / e )

2. Möglichkeit

Überprüfung durch die zweite Ableitung [Hilfe zur Produktregel]

y = f_a (x) = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

   fa' (x) = ea + 2 - x  ( 1 + a - x )

   fa (x) = ea + 2 - x  ( 1 + a - x ) ( -1 ) +  ( -1 ) ea + 2 - x 

                                  = -ea + 2 - x  ( 1 + a - x + 1 )

                                  = ea + 2 - x  ( x - a - 2 )

Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.

fa ( 1 + a ) = ea + 2 - ( 1 + a )  ( ( 1 + a ) - a - 2 )
                                     = ea + 2 - 1 - a  ( -1 )
                                     = e^1 ( -1 ) = <0

         -->  Max ( 1 + a / e )

Wendepunkte

Zweite Ableitung siehe: Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a (x) = e^{a + 2 - x} ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung

Mögl. Wendepunkte tretten für f_a (x) = 0 auf.

f_a (x) = 0

e^{a + 2 - x} ( x - a - 2 ) = 0 / e^{a + 2 - x} > 0

 -->    ( x - a - 2 ) = 0                      / + 2 ; + a

         x = a + 2

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2

f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a ) e^{a + 2 - (a + 2 )}

                       = 2 ea + 2 - a - 2 )
                       = 2 e^0
                       = 2

   mög. WP ( a + 2 / 2 )

Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

f_a ( a + 2 + - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )} ( a + 2 - h - a - 2 )

                                          = ea + 2 - a - 2 + h )  ( -h )
                                          = e^h ( -h )
                                          = -h e^h
                                          lim h --> 0 ............

f_a ( a + 2 + + h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )} ( a + 2 + h - a - 2 )

                                          = ea + 2 - a - 2 - h )  ( h )
                                          = e^h ( h )
                                          = h e^h

                                          lim h --> 0 ............

--> VZW bei x = a + 2
--> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )

zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten

	x<2+a		x=2+a		x>2+a
ea + 2 - x		+		+
( x - a - 2 )		-		+
fa ( x )		-		+

--> WP ( a + 2 / 2 )

2. Möglichkeit Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

f_a^' (x) = e^{a + 2 - x} ( 1 + a - x )

f_a (x) = e^{a + 2 - x} ( x - a - 2 )

Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

f_a (x) = e^{a + 2 - x} ( x - a - 2 ) (-1) + 1 e^{a + 2 - x}

                               = ea + 2 - x  ( a + 2 - x + 1 )
                               = ( a + 3 - x ) ea + 2 - x 

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

f_a ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) e^{a + 2 - ( a + 2 )}

                                     = ( a + 3 - a - 2 ) ea + 2 - a - 2 ) 
                                     = 1 e^0
                                     = 1 
                                     > 0

--> WP ( a + 2 / 2 )

Funktiongleichung aller Extrempunkte

Extrempunkte ( 1 + a / e )

--> H ( x ) = e

Graph der Funktion f₂ für 1,6 < x < 7

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