Grenzwerte im Unendlichen

Grenzwerte im Unendlichen

Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms.

Konvergente Funktionen

Aufagbe:
Erstelle für die Funktion f(x)=${6x+1 \over 2x}$ eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.

x	-20	-15	-10	-8	-5	-3	0	3	5	8	10	15	20
y	2,975	2,967	2,95	2,94	2,9	2,83	n.d.	3,17	3,1	3,06	3,05	3,03	3,025

Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert x=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen.
Diese Tendenz kann man nun durch Formelumformung bestätigen:

f(x)=${6x+1 \over 2x}$=${6x \over 2x}+{1 \over 2x}$=$3+{1 \over 2x}$
Da ${1 \over 2x}$ für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.
Kurz:

$\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3$