Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:

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Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x³. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?

Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x³. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.

Beispiel: f(x)=x³

f(1)=1

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben $\rightarrow$ h(x)=f(x)+3

h(1)=f(1)+3

h(1)=1+3

h(1)=4

Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)+a entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).

2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x³+2x² um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen?

Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x³+2x²

x=1 $\rightarrow$ f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

j(x)=f(x-3)

j(x)=(x-3) ³+2(x-3)²

j(4)=(4-3)³+2(4-3)²

j(4)=1+2=3=f(1)

Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.

Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).

3.Beispielaufagben

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x)=x³+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.

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h(x)=f(x-2) -5

2 Einheiten nach rechts

5 Einheiten nach unten

=(x-2)³+5(x-2)-5-5

=(x-2)(x²-4x+4)+5x-10-10

=x³-4x²+4x-2x²+8x-8+5x-20

=x³-6x²+17x-28

Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x³ hervorgegangen sind.

a) Verschiebung um 2 Einheiten nach oben:

g(x)=f(x)+2=x³+2

b) Verschiebung um 2 Einheiten nach links:

h(x)=f(x+2)

h(x)=(x+2)³

h(x)=(x+2)(x²+4x+4)

h(x)=x³+4x²+4x+2x²+8x+8

h(x)=x³+6x²+12x+8

c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten:

j(x)=f(x-3)-4

j(x)=(x-3)³-4

j(x)=(x-3)(x²-6x+9)-4

j(x)=x³-6x²+9x-3x²+18x-27-4

j(x)=x³-9x²+27x-31