Benutzer:Gebauer David

((Benutzer:Gebauer David/Revolution 1848)) Hausaufgabe vom 23.09.2008

Infinitesimalrechnung

1. Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k : x\rightarrow \left( k^2x+k\right) e^{-kx}$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von $G_k$ mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie das Verhalten von $f_k$ für $x\rightarrow +\infty$ und $x\rightarrow -\infty$.

b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von $G_k$. $\lbrack$zur Kontrolle: $f'_k(x) = -k^3xe^{-kx}\rbrack$

Lösung: $f'_k(x)=k^2e^{-kx}(-k)=-k^2[(kx+1)e^{-kx}-e^{-kx}]=-k^3xe^{-kx}$

Lösung: c $f''_k(x)=-k^3\lbrack^{-.kx}+xe^{-kx}(-k)\rbrack=-k^3(1-kx)e^{-kx}$