Abi 2012 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 ‎ An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Batlló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1). Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des ein- gezeichneten Koordinatensystems die Punkte A(-2/0), B(2/0) und C(0/5) liegen. (1 LE entspricht 1m, d.h. das Kunstwerk ist 5m hoch). a) Ermitteln Sie den Term einer in IR definierten quadratischen Funktion p, deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft. (zur Kontrolle: p(x) = -1,25x2+5) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in IR definierten ganzrationalen Funktion q vierten Grades mit q(x)=-0,11x4-0,81x2+5. Der Graph von q wird mit Gq bezeichnet. b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gq symmetrisch bezüglich der y-Achse ist, durch die Punkte A und B verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Abbildung 2 zeigt die Graphen von p und q. c) Welcher der beiden dargestellten Graphen ist Gq ? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Im Intervall ]0;2[ gibt es eine Stelle x0, an der der Wert der Differenz d(x)=q(x)-p(x) maximal wird. Berechnen Sie x0 sowie den Wert der zugehörigen Differenz. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px e) Berechnen Sie mithilfe der Funktion q einen Näherungswert für den Flächeninhalt A des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px f) Die Gerade mit der Gleichung y=1,1 teilt im Modell den vom Kunstwerk eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion q das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann. Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Aufgabe 2 Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle ver- steht man das Volumen des Wassers, das an dieser Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeifließt. Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt t=0 eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 3 zeigt den Graphen Gf von f. ‎ a) Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich t > 1 Näherungswerte für die Koordinaten des Hochpunkts sowie für die t-Koordinaten der beiden Wendepunkte von Gf und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Bestimmen Sie $\int_{1}^{4} f (t)\,dt$näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Bestimmen Sie mithilfe von Gf für t=4 und t=3 jeweils einen Näherungswert für die mittlere Änderungsrate von f im Zeitintervall [2;t]. Veranschaulichen Sie ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten für t → 2 im Sachzusammenhang [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px