Abi 2016 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Analysis II - Teil B

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Aufgabe 1

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I Breite des Tunnelbodens: b=10m

II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h=5m

III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6m mindestens 4m hoch.

Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p(x)\mapsto -0,2x^2+5$ mit Definitionsbereich $D_P$ = [-5, 5]

a)Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

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Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der Graphenpunkte P_x(x/p(x)) vom Ursprung des Koordinatensystems.

b) Zeigen Sie, dass $d(x)=\sqrt{0,04x^{4}-x^{2}+25}$ gilt.

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c) Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte P_x , für die d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

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