Cent-System

Das Cent-System

Auf dieser wichtigen Erkenntnis (Logarithmus) basiert das Cent(C)-System. „Das C. - Maß wurde 1885 von A.J. Ellis entwickelt, um Tondistanzen unabhängig von den ihnen zugrunde liegenden Schwingungszahlen durch eine lineare Skala darstellen zu können“
1 Cent (C) bezeichnet den hundertsten Teil eines (temperierten) Halbtons. Die Oktave, die aus 12 Halbtönen besteht ist 1200 C groß. Sollen zwei Intervalle addiert oder subtrahiert werden, muss man deren Centszahlen addieren. Die Schwingungsverhältnisse dagegen müssen multiplizieren werden. Daher sind die Cents, wie oben bewiesen, Logarithmen.
Es gilt: 1 Ok = 1200 C
Ein Cent hat also den Wert $\textstyle \sqrt [1200]{2}$ (die temperierte Stimmung werde ich später beschreiben. Hier sei nur gesagt das ein Halbton in der temperierten Stimmung den Wert $\textstyle \sqrt{2}$ hat.)
„Die Centzahl sagt aus, wie oft dieser Wert (man kann ihn auch mit $\textstyle 2^\frac {1}{1200}$ ausdrücken) in einer Reihenmultiplikation als Faktor steht. Der Centwert ist somit ein logarithmischer Wert auf der Basis $\textstyle 2^\frac {1}{1200}$.“
Deshalb müsste man, um auf diesen Wert zu kommen, den 10er Logarithmus des Frequenzverhältnisses durch log $\textstyle 2^\frac {1}{1200}$ teilen, also $\textstyle \frac {log \ \frac {f_1}{f_2}} {log \ 2^\frac {1}{1200}}$ . Aus $\textstyle log \ 2^\frac {1}{1200}$ wird nach der 3. Logarithmusregel (s.o.) $\textstyle \frac {1}{1200} \cdot log;$

Daher gilt für die beiden Töne A und B:

$C = 1200 \cdot \frac {log \ \frac {A}{B}}{log \ 2};$

Zum Beispiel:
Nun wählen wir für A und B beliebig 2 Töne z.b. A = 220 Hertz und B = 110 Hertz und berechnen das Intervall i der beiden Töne. i=$\textstyle \frac {A}{B}$ = $\textstyle \frac {330 Hertz}{220 Hertz}$ = 1,5.

Um den Centwert zu erhalten setzen wir i in die oben genannte Formel ein.

$C = 1200 \cdot \frac {log \ 1{,}5}{log \ 2} = 701{,}96 \approx 702 Hertz$

Die Vorteile der Cent-Rechnung sind, dass dem logarithmischen Tonempfinden des Ohrs entspricht und das für Berechnung von Stimmungen und Intonationen eine allgemein gültige Einheit hat.
Sie hat allerdings auch den Nachteil das nun „einfache Zahlen“ die vorher plausibel erscheinenden Proportionen ersetzen.

Ein praktisches Applet zum Umrechnen von Frequenzen in Cent findet sich hier.

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