Tonraumzahlen2

Beweis der Rechenregeln für den Logarithmus

Da dies nur Einzelbeispiele sind, sind die Rechenregeln nun zu beweisen (Aufbauend auf den Potenzgesetzen. Eine Einführung zu den Potenzgesetzen findet sich hier):

Der Logarithmus ist wie folgt definiert:

$\log_b \ (u) = x; \leftrightarrow b^x = u;$
$\log_b \ (v) = y; \leftrightarrow b^y = v;$

Für das Produkt folgt:

$u \cdot v = b^x \cdot b^y = b^{x+y};$

Wenn man wieder die Definition des Logarithmus anwendet erhält man:

$u \cdot v = b^{x+y} \leftrightarrow \log_b \ (u \cdot v) = x + y$

Wenn nun x und y durch die Werte von oben wieder ersetzt wird, bekommt man:

$\log_b \ (u \cdot v) = \log_b \ (u) + \log_b \ (v)$

Analog folgt für den Quotienten $\textstyle \frac {u}{v}$:

$\frac {u}{v} = \frac {b^x}{b^y} = b^{x-y};$

Anwendung der Definition des Logarithmus:

$\frac {u}{v} = b^{x - y} \leftrightarrow \log_b \ (\frac {u}{v}) = x - y;$

x und y ersetzen:

$\log_b \ (\frac {u}{v}) = \log_b \ (u) - \log_b \ (v);$

Das Vorziehen des Exponenten:

$u^2 = u \cdot u = b^x \cdot b^x = b^{2x};$

Anwendung der Definition des Logarithmus:

$u^2 = b^{2x} \leftrightarrow \log_b \ (u^2) = 2x;$

x ersetzen:

$\log_b \ (u^2) = 2 \cdot \log_b \ (u);$

Analog ist

$\frac {1}{2} \cdot \log \ u = \log \ \sqrt{u}$

, da $\sqrt {u} = u^{0{,}5}$ ist, also der letzte Beweis angewendet werden kann.

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