2009 VI
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VI.
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die
Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und
B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR.
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
- [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0]
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F.
- Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.
- [Teilergebnis: r=5]
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und
- geben Sie deren Radius r´ an.
- [Teilergebnis: M´(-7/4/12)]
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des
Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.
e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den
Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt-
kreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p?
[Teilergebnis: N(5/1/1) ]
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines
schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen
Zylinders und den Winkel 
, um den die Zylinderachse gegen die
Grundfläche geneigt ist.
g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´?
Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´
und die Ebene Ea in einem Kreis?
