Funktionsuntersuchungen

Funktionsuntersuchungen

Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während dem Bearbeiten Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht.

Lineare Funktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.

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D=$\mathbb{R}$
W=$\mathbb{R}$
Steigung: m=3
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

y-Achse:

f(0)=3×0+1=1 $\rightarrow$ P(0/1)

x-Achse:

f(x)=0

3x+1=0

x=-1/3 $\rightarrow$ S(-1/3/0)

Quadratische Funktionen

Gegeben ist die Funktion g(x)=x²+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung.

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D=$\mathbb{R}$

W=[-4;∞┤[

Nullstellen: Lösungsformel

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{3^2+8}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$
x₁=0,56 $\rightarrow$ P₁(0,56/0)
x₂=-3,56 $\rightarrow$ P₂(-3,56/0)

Graph: nach oben geöffnete Parabel

Scheitel: Die x-Koordinate des Scheitels befindet sich mittig zwischen den beiden Nullstellen $\rightarrow$ x=-1,5
f(-1,5)=-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5;-4,25)

Oder: Quadratische Ergänzung:
g(x)=x²+3x-2
g(x)=x²+3x+1,5²-1,5²-2
g(x)=(x²+3x+1,5² )-4,25
g(x)=(x+1,5)²-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5/-4,25)

Ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die Funktion h(x)=2x⁷-2x⁶+4x⁴-4x³. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit Geogebra.

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D=$\mathbb{R}$
W=$\mathbb{R}$
Nullstellen:
h(x)=2x⁷-2x⁶+4x⁴-4x³ h(x)=2x³ (x⁴-x³+2x-2) $\rightarrow$ x₁=0 (dreifache Nullstelle)
Ausprobieren: x₂=1
Polynomdivision: (x⁴-x³+2x-2)÷(x-1)=x³+2

x₃=-∛2 $\rightarrow$ h(x)=2x³ (x-1)(x³+2)

P₁ (0/0) P₂ (1/0) P₃ (-∛2/0)
Verhalten im Unendlichen:
$\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty$
$\lim_{x\to-\infty} h(x)=-\infty$

Gebrochen rationale Funktionen

Bestimme zu der Funktion j(x)= ${5x+3 \over 3x-1}$ die Asymptoten. Folgere daraus die Defintions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.

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Asymptoten:
$\lim_{x\to \pm\infty}$${5x+3 \over 3x-1}$=$\lim_{x\to \pm\infty}$${x(5+3/x) \over x(3-1/x)}$ =${5 \over 3}$
y= ${5 \over 3}$ $\rightarrow$ W=$\mathbb{R}$ \${{5 \over 3}}$
x=${1 \over 3}$ $\rightarrow$ D=$\mathbb{R}$ \${{1 \over 3}}$

Nullstelle: j(x)=${5x+3 \over 3x-1}$ | (3x-1)
j(x)=5x+3
x=$-{3 \over 5}$

Trigonometrische Funktionen

Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen.

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D=$\mathbb{R}$
W={-2;2}
Amplitude:2

Nullstellen: x_k=$2k {\Pi \over 2}$

Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Funktion l(x)=4^x. Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich, die Asymptote in x-Richtung und beschreibe den Verlauf des Graphen. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen, den dir GeoGebra liefert.

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D=$\mathbb{R}$
W=$\mathbb{R}$⁺
Graph: steigend
Asymptote: x=0