Benutzer:Neutert Jan-Peter

Was ist eine Funktion ?

So wie im täglichen Leben Statistiken oder Tabellen erstellt werden, können auch in der Mathematik sogenannte Funktionen erstellt werden. Diese sind, ähnlich wie bei einer Tabelle, abhängig von zwei meist unterschiedlichen Größen. Bei den mathematischen Funktionen ist es so, dass einer bestimmten Menge auf der x – Achse, eine bestimmte Menge auf der y - Achse zugeordnet wird. Bei rein mathematischen Überlegungen handelt es sich bei den beiden Mengen um den sogenannten x – Wert beziehungsweise y – Wert. Bei Funktionen mit Einheiten, wie zum Beispiel in der Physik der „Waagrechte Wurf“, wird dem x – Wert die Einheit Länge in Meter gegeben und dem y – Wert Höhe in Meter zugeteilt. Jedoch ist zu beachten, dass bei Funktionen jedem x - Wert nur ein y – Wert zugeordnet werden kann. Es ist also nicht möglich, dass eine Funktion mit dem x – Wert x1 zwei y – Werte y1 und y2 hat. Der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Wertetabelle ist lediglich, dass die Funktion eine graphische Abbildung der Wertetabelle darstellt.

Zur Facharbeitsaufgabe

Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f_a mit $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$, a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10⁶$\frac{m^3}{Monat}$ und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

• Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert? Im Applet ist die Funktion als f (x) definiert, nicht als f (t).

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Jede Funktion $f(x)$ , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also unabhänig von a Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.

$f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right)$

Die andere, wie man im Applet sieht eine doppelte Nullstelle, wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also abhängig von a. Löst man die Quadratische Gleichung erhält man die zweite Nullstelle.

$\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right)$

Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus.

• Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Um die Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x$n-1

Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$

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$f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$

Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.

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Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die Funktion f '(t) = 0

Da man nun die Gleichung einer quadratischen Gleichung hat, kann man mit Hilfe der "Mitternachtsformel" die beiden Lösungen ausrechnen. Setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein, erhält man die Koordinaten der Extremwerte E₁ und E₂.

$\rightarrow t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$

$\rightarrow t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen. Da sich hier die Koordinaten $E_1$ ( 6 / 0 ) und $E_2$ ( 2 / 8 ) ergeben.

Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen. Lösung 1: Man bildet die zweite Ableitung und betrachtet das Krümmungsverhalten an den Extremwerten. Dazu setzt man einfach die t - Koordinate in die zweite Ableitung ein. Gib die Art der Extremwerte an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die zweite Ableitung lautet: $f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$ $f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a$ da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum $f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a$ da a > 0 sein muss $\rightarrow$ - a < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum Lösung 2: Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" von den beiden Extremwerten verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt einmal f '($t_1 - h$) und einmal f '($t_1 + h$) ein, um das Verhalten von Gf für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Hier ergeben sich je ein positiver und ein negativer Wert, welches die Steigung darstellt. Ist beispielsweise f '($t_1 - h$) < 0 und f '($t_1 + h$) > 0, dann liegt ein Minimum vor, da links vom Extremwert der Graph fällt, und rechts steigt. Mit dem selben Verfahren setzt man nun f '($t_2 - h$) und f '($t_2 + h$) ein und erhält somit, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$ $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$ Daraus ergibt sich nun folgendes Monotonieverhalten. $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum Lösung 3: Anhand des Graphen Gf kann man die Art der Extremwerte nachweisen.

• Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen G_f. Im Applet ist die Funktion als f '(x) definiert, nicht als f '(t).

Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Wenn man von der Funktion f (t) ausgeht, ist der gesuchte Punkt der Wendepunkt. An ihm besitzt der Graph G_f den größten negativen Wert. Errechne diesen Wert.

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$\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$

$f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt $WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

• Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f_a im Bereich $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar. Begründe dies.

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Es liegt kein Punkt im Intervall $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse, da es hier um eine Funktion mit realem Bezug geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegen würde. Dies ist nicht möglich, da es heißen würde, dass ein negatives Volumen an Wasser im Fluss ist. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f_a im vierten Quadranten definiert.

Es soll das Verhalten von f_a für $t \rightarrow \infty$ angegeben werden. Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

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$\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2$

(Höchste Potenz ausklammern!)

$\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)$

$\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty$

Für$t\to\infty$geht die Funktion gegen + $\infty$

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Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie immer stärker ansteigt. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f_a (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird.

Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.

$\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944$

Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert $1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}$. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion, als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f_a (t) wieder von vorne starten würde.

• Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f_a (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.

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$\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c$

Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten

Die untere Grenze ist: 0

$\int_{0}^{6} f (t)\,dt =$ $\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27$

Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10⁹ Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*10⁶ m³ = 27*10⁹ Liter)