Gliederung

Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion f_a durch y=f_a(x)=(x-a)e^a+2-x mit xeR gegeben.

a) 1.Untersuchen Sie den Graphen von f_a auf:

• Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
• lokale Extrempunkte und
• Wendepunkte!

Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!

2.Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an!

3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f₂ für 1,6 < x <7!

b)1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von f_a an!

2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von f_a!

3.Die x-Achse und der Graph der Funktion f₂ begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt!

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}$xe^-x =0

c) Im Punkt W_a(a+2; f_a(a+2)) werde die Tangente an den Graphen von f_agelegt

1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)?

Nun sei a = 2.

2. Berechnen Sie alle Stellen x_B, für die die Tangente die y-Achse im Punkt B(x_B;f₂(x_B)) an den Graphen von f₂ durch den Koordinatenursprung verläuft!

d) Für jeden Wert von a bilden die Punkte R_a(a;f_a(a)), H_a(a+1;f_a(a+1)) und W_a(a+2;f_a(a+2)) ein Dreieck.

1.Zeigen Sie, dass alles diese Dreiecke zueinander kongruent sind!

2.Berechnen Sie deren Flächeeninhalt!

e)Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (n>1) der Funktion f_a gilt:

y=f_a(x)=(-1)ⁿ⁺¹(n-x+a) e^a+2-x