Kettenbrüche

Kettenbrüche:

„Jede reelle Zahl x element R kann auf genau eine Art durch einen Kettenbruch dargestellt werden. Der Kettenbruch ist endlich, wenn die Zahl rational ist und unendlich, wenn sie irrational ist.“

Ich werde hier hautptsächlich auf die Kettenbruchentwicklung der irrationalen Zahlen eingehen, denn die Intervallverhältnisse sind ja (mit Ausnahme von Prime und Oktave) irrationale Zahlen.

Doch was ist ein Kettenbruch?

Im folgenden werde ich die wichtigsten Eigenschaften, vor allem in Hinsicht auf ihre musikalische Anwendung beschreiben. Eine ausführliche Beschreibung findet sich hier.

Man kann jede reelle Zahl x ≥ 0 mit x = $a_0$ + $r_0$ für $a_0 \in \N_0$, 0 ≤ $r_0$ ≤ 1;

Bsp: In unserem Fall z.B die irrationale (algebraische) Zahl $\sqrt {2}$

$\sqrt {2} = 1,414213562..... = 1 + 0,414213562.... a_0$ ist das größte Ganze und $r_0$ der Rest von x.

Für $r_0$ > 0 , gilt: $\textstyle \frac {1}{r_0} > 1.$

Daraus folgt:

$\frac {1}{r_0} = a_1 + r_1 \ fuer \ a_1 \in \N, \ 0 \le r_1 \le 1;$
Hierfür erhalten wir:

$x = a_0 + \frac {1}{a_1 + r_1} ;$

Beispiel:

$\textstyle \frac {1}{0,414213562}$... = 2 + 0,414213565...

$\sqrt {2}$ = 1 + $\textstyle \frac {1}{2 + 0,414213565...}$

für $r_1 = 0$ gilt $a_1$ > 0 damit ist der Kettenbruch endlich.

$x = a_o + \frac {1}{a_1};$

wenn für $r_1$ aber gilt: $r_1$ >0 dann ergibt sich:

$\frac {1}{r_1} = a_2 + r_2 \ mit \ a_2 \in \N, 0 \le r_2 < 1;$

$x = a_0 + \frac {1}{\frac {a_1 + 1}{a_2 + r_2}};$

solange gilt $r_n$ > 0 lässt sich das ganze ins unendliche fortführen.

Wenn x irrational ist, kann die Kettenbruchentwicklung periodisch sein.

($a_{n+k} = a_n \ mit \ k \in N_0$)

Dies trifft genau dann zu, wenn x die reelle Lösung einer quadratischen Gleichung $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \ mit \ a,b,c \in \Z \ mit \ a \not= 0$
und insbesondere eine algebraische Zahl ist.
Transzendente Zahlen haben keine periodische Kettenbruchentwicklung (Bsp. $\pi$)

Die für uns intressante Eigenschaft der Kettenbrüche ist:

Wenn $\textstyle k \in N_0$ eine gerade Zahl ist, so gilt:

q₀ < q₂ < … < q_k $\le x \le$ q_k+1 < … < q₃ < q₁;

$Und \ fuer \ q_k = \frac {Z}{N}; Z \in \N_0, N \in \N$

für 0 < n ≤ N gilt für ganze Zahlen z

|x – $\textstyle \frac {z}{n}$ | ≥ |x – $\textstyle \frac {Z}{N}|;$

In Worten ausgedrückt: keine rationale Zahl mit einem Nenner > N, approximiert x besser als qk.3

Nun wollen wir die reine und die gleichstufig temperierte Tonskala hier in C-Dur) betrachten:



x gibt dabei die Anzahl der Halbtöne an (vgl Grafik temperierte Stimmung)
y ist die musikalische Tonbezeichnung
H(y) ist das Verhältnis der Tonhöhe zu H(c).

Hier erkennt man, dass die reine Tonskala sich aus der nur mathematisch begründeten gleichstufig temperierten Stimmung durch das Prinzip der Kettenbruch-Approximation ableiten lässt.

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