2003 IV

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003 Stochastik IV Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt

Aufgabe 1 Im Januar 2002 war in einer Zeitung zu lesen, dass die neuen Euro- Münzen keine Laplace-Münzen seien. Bei einem Experiment mit einer 2-Euro-Münze, die man 1000-mal auf dem Tisch kreiseln ließ, sei 600-mal Zahl oben liegen geblieben. a) Zeigen Sie, dass bereits bei 200 Würfen einer Laplace-Münze die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in wenigstens 60 % der Fälle Zahl oben liegen bleibt, kleiner als 0,5 % ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a b) Begründen Sie, dass die Stabdiagramme der Binomialverteilungen mit p = 0,5 achsensymmetrisch sind. Geben Sie die Symmetrieachse an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a c) Ermitteln Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow eine möglichst kleine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen einer Laplace-Münze wenigstens 600-mal Zahl zu erhalten. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a und nehmen Sie dazu kurz Stellung. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a d) Aufgrund des Zeitungsartikels führte ein Schüler eine eigene Versuchsreihe durch. Er ließ eine 2-Euro-Münze 250-mal auf dem Tisch kreiseln; dabei blieb 139-mal Zahl oben. Stellen Sie durch Näherung mit der Normalverteilung fest, ob dieses Ergebnis auf einem Niveau von 5 % signifikant dafür ist, dass bei dieser Münze häufiger Zahl oben liegen bleibt als bei einer Laplace- Münze. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a

Aufgabe 2 Auf dem Schulfest des Laplace-Gymnasiums wurde untersucht, welchen Einfluss es hat, ob eine 2-Euro-Münze geworfen oder auf dem Tisch gekreiselt wird. Jeder Schüler durfte selbst entscheiden, ob er lieber werfen oder kreiseln wollte. In der Schülerzeitung war anschließend Folgendes zu lesen: “70 % der Schüler kreiselten die Münze. Insgesamt ist in 56 % aller Fälle Zahl oben liegen geblieben, wobei davon 72,5 % durch Kreiseln erzielt worden sind.“ Wie groß ist die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl liegt oben“ beim Werfen und wie groß ist sie beim Kreiseln? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a

Aufgabe 3 Eine Laplace-Münze wird so oft geworfen, bis zweimal hintereinander die gleiche Seite oben liegen bleibt. Insgesamt wird aber höchstens n-mal geworfen. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Würfe, En (X) sei ihr Erwartungswert. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n-maligem Werfen immer abwechselnd beide Seiten zu erhalten? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a b) Bestimmen Sie E2 (X), E3(X) und E4 (X) . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a c) Zeigen Sie, dass gilt: En+1 (X)- En (X) = 0,5n-1 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a d) Erläutern Sie, warum En (X) für n → + ∞ nicht größer als 3 wird, und interpretieren Sie diese Tatsache im vorliegenden Zufallsexperiment. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a