2003 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003 Infinitesimalrechnung I Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern Erarbeitet von Lukas Baumüller, Florian Wilk

Aufgabe 1 a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen g: x → ${e^x \over 2}$ , g*:x → ${e^{-x} \over 2}$ und f1: x → ${e^x+e^{-x} \over 2}$ . Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1) , g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich -2$\le$x$\le$2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm. Erläutern Sie, wie der Graph von g* aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von f1 aus den Graphen von g und g* entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von g* und f1 in das vorhandene Koordinatensystem. 6 BE Hinweis: Die Entstehung von Graphen aus anderen Graphen kann in diesem Lernpfad wiederholt werden. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Funktion f1 gehört der Funktionenschar fk: x → ${e^{kx}+e^{-kx} \over 2k}$ mit D = $\mathbb{R}$ und k$\in$$\mathbb{R}$+ an. Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet. b) Welches Symmetrieverhalten weist Gk auf? Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von fk und geben Sie die Koordinaten des Extrempunktes an. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Nun wird die Integralfunktion Fk x → $\int\limits_{0}^{x} f_k(t)dt$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{R}$ betrachtet. Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von Fk das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von Fk (kurze Begründung). 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von F1(x) und zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung [f1(x)]2=1+[F1(x)]2 für alle x$\in$$\mathbb{R}$. Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals $\int\limits_{0}^{2} f_1(x)dx$ als Streckenlänge in Ihrer Zeichnung und markieren Sie die zugehörige Strecke farbig. 8 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 a) Ermitteln Sie die beiden Stellen x1 und x2 , an denen die Funktion f1 den Wert m (m > 1) annimmt. 4 BE [Ergebnis: $x_{1/2}=ln(m\pm\sqrt{m^2-1}$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von G1, der positiven y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand. Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt). 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Die Spannweite am Boden (Außenmaße)und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen Gk angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berechnung von k und zeigen Sie, dass der Wert k=2-7 eine gute Näherungslösung ist. 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]