2005 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion $f:x \rightarrow ln {-1 \over 1+x}$ mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ an und ermitteln Sie den Funktionsterm $f^ {-1}$(x). 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und $f^ {-1}$ in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Der Graph Gf die x-Achse und die Gerade x= –1 schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks. 4 BE 1. Lösung (einfacher) Tipp anzeigen Tipp verstecken mit Hilfe der Umkehrfunktion [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösung (zeitaufwändiger und komplizierter) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Es sei g eine in IR differenzierbare Funktion mit dem Graphen Gg. Die Abbildung zeigt den Graphen Gu der in IR\{-2;1} definierten Funktion $u:x \rightarrow u(x)={1 \over g(x)}$. Die x-Achse und die Geraden x= –2 und x=1 sind Asymptoten von Gu. Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden. a) Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gu und Gg. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Begründen Sie, dass Gg in x= – 2 und x=0 waagrechte Tangenten hat. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von Gu und Gg gilt: g' (x)= -u' (x). Ermitteln Sie g' (-1), indem Sie u' (-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.) 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berück-sichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen Gg. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Tipp anzeigen Tipp verstecken Tipp eingeben