Grenzwerte im Unendlichen
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Grenzwerte im Unendlichen
Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms. |
Konvergente Funktionen
Aufagbe:
Hinweis: Sonderfall: Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. |
Divergente Funktionen
Bei divergenten Funktionen, also Funktionen die für x→ keinen Grenzwert besitzen, unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.
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Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl a , so ist diese Zahl a der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.
Schreibweise:
- a
Dabei ist die Gerade y=a die waagrechte Asymptote des Graphen von f.
Das Gleiche gilt für x→ .
Funktionen, die für x→ oder x→ einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent.
Beispielaufgaben
Aufgabe 1:
Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte.
- a) f(x)=x2
- b) f(x)=2x
- c) f(x)=
- d) f(x)=
Aufgabe 2:
Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)= die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→+∞)?
Aufgabe 3:
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.