Grenzwerte im Unendlichen

Grenzwerte im Unendlichen

Eine häufig interessante Eigenschaft von Funktionen ist das Verhalten im Unendlichen. Man interessiert sich also dafür, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. immer kleiner werdende x-Werte verhält. Dieses Verhalten lässt sich oft nicht einfach so aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt aber zwei Möglichkeiten, Hinweise zu erhalten. Zum einen kann das Erstellen einer Wertetabelle weiterhelfen, zum anderen die Umformung des Terms.

Konvergente Funktionen

Aufagbe:
Erstelle für die Funktion f(x)=${6x+1 \over 2x}$ eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.

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x	-20	-15	-10	-8	-5	-3	0	3	5	8	10	15	20
y	2,975	2,967	2,95	2,94	2,9	2,83	n.d.	3,17	3,1	3,06	3,05	3,03	3,025

Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert x=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen.
Diese Tendenz kann man nun durch Formelumformung bestätigen:

f(x)=${6x+1 \over 2x}$=${6x \over 2x}+{1 \over 2x}$=$3+{1 \over 2x}$
Da ${1 \over 2x}$ für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.
Kurz:

$\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3$

Funktionen, die für x gegen +∞ oder-∞ einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent.

Hinweis:
Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das beispielsweise für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht.

Sonderfall:
Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=${cosx \over x}$, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird.
In diesem Fall gilt:

$\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Divergente Funktionen

Bei divergenten Funktionen, also Funktionen die für x→±∞ keinen Grenzwert besitzen, unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.

Bei der Funktion f(x)=2x³+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. fällt. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert.
Es gilt:

$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$ bzw. $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$

Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt.

Die Funktion f(x)=x×cosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$ bzw. $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ nicht erlaubt.

Zusammenfassung:
Nähern sich die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl a , so ist diese Zahl a der Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.
Schreibweise:

$\lim_{x\to\infty} f(x)=a$

Dabei ist die Gerade y=a die waagrechte Asymptote des Graphen von f.
Das Gleiche gilt für x→-∞.
Diese Funktionen, die für x→∞ oder x→-∞ einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent.
Funktionen, die für x→∞ und x→-∞ keinen Grenzwert besitzen, nennt man divergent.

Beispielaufgaben

Aufgabe 1:
Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte.
a) f(x)=x²
b) f(x)=2^x
c) f(x)=${5x+2 \over 3x-2}$
d) f(x)=${5-1 \over x}$

f(x)=x²

$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty$

f(x)=2^x

$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$