Abi 2015 Geometrie I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 26. Juli 2017, 08:30 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015
Geometrie I - Teil B


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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E:x1+x3=2, der Punkt A(0|\sqrt{2}|2) und die Gerade g:\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} , \lambda \in \mathbb{R} , gegeben.

a) Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Gerade g enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).

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Die x1x2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt A und verläuft entlang der Geraden g. Der Vektor \vec{v}=\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

b) Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

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An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene E verläuft und den Mittelpunkt M(0|3\sqrt{2}|2) hat.

c) Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt B den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von B und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

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d) ) Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt C beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \vec{C}=\vec{M}-\vec{x}.

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e) Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB] und den Viertelkreis von B nach C dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15\frac{m}{s} . Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht.

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