Abi 2014 Analysis II Teil A: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit <math>f(x) = e^x \cdot (2x + x^2)</math>.
  
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a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
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b) Zeigen Sie, dass die in IR definierte Funktion F mit <math>F(x) = x^2 \cdot e^x</math> eine Stammfunktion von f ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion G von f an, für die <math>G(1) = 2e</math> gilt.
  
 
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Der Graph einer in IR definierten Funktion <math>g : x \mapsto g(x)</math> besitzt für -5 ≤ x ≤ 5 zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion g´´ von g gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
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In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
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- Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen G<sub>f</sub> der Funktion <math>f : x \mapsto -lnx</math> mit 0 < x < 1.
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Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
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Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt.
  
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Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
  
 
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Version vom 7. Juli 2017, 15:03 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2014
Analysis II - Teil A


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Geben Sie jeweils den Term einer in IR definierten periodischen Funktion an,die die angegebene Eigenschaft hat.

a) Der Graph der Funktion g geht aus dem Graphen der in IR definierten Funktion x \mapsto sinx durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

b) Die Funktion h hat den Wertebereich [1;3].

c) Die Funktion k besitzt die Periode π.

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Aufgabe 2

Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit f(x) = e^x \cdot (2x + x^2).

a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.

b) Zeigen Sie, dass die in IR definierte Funktion F mit F(x) = x^2 \cdot e^x eine Stammfunktion von f ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion G von f an, für die G(1) = 2e gilt.

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Aufgabe 3

Der Graph einer in IR definierten Funktion g : x \mapsto g(x) besitzt für -5 ≤ x ≤ 5 zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion g´´ von g gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung. "Graphen 1,2 und 3 einfuegen!"


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Aufgabe 4

"Graph einfuegen!"

In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

- Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.

- Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen Gf der Funktion f : x \mapsto -lnx mit 0 < x < 1.

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt.

Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

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