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| − | ===Exkurs: [http://de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest Division mit Rest]:===
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| − | <br><br>„Ist eine Zahl <math> \textstyle n \in \Z</math> gegeben und ist <math> \textstyle m \in \N</math>, m ≠ 1, eine weiter Zahl, der Divirsor, so kann man n durch m mit Rest dividieren. Das heißt, es gibt eine Zahl k Element Z und einen Rest r, r Element {0, 1, … , m – 1}, so daß <br><br>
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> n = k <math>\cdot</math> m + r<br></div>
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| − | gilt.“<ref>Reimer S.28</ref><br><br>
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| − | Beispiel:<br>
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| − | Für n = 25 und m = 7:<br>
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| − | 25 = 3 <math>\cdot</math> 7 + 4; mit 4 <math>\textstyle \in</math> {0,1,2,3,4,5,6};<br>
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| − | Dafür schreibt man: n ≡ r mod (m);<br>
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| − | Für alle Töne t der Oktavfolge {…,c,c',...} gilt:<br>
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| − | Φ(t) = k <math>\cdot</math> 12 + 0<br>
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| − | Für alle Töne der Oktavfolge {…,cis,cis',...}:<br>
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| − | Φ(t) = k <math>\cdot</math> 12 +1 <br>
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| − | „Allgemein wird also der Ton u, das heißt die Oktavfolge {u}, durch den (kleinsten nichtnegativen) Divisionsrest r bei Division durch 12 gekennzeichnet, also durch die für alle Töne der Folge mit einem r Element {0,1,...,11} gemeinsam geltende Kongruenz <br><br>
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| − | Φ(u) ≡ r mod (12).“<ref>ebenda S.29</ref><br><br>
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| − | u entspricht dem in unserem Beispiel benannten t.<br>
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| − | Nun wollen wir die [http://de.wikipedia.org/wiki/Iteration#Numerische_Mathematik iterierten] Quinten über dem Ton c betrachten.<br>
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| − | Es sind die Töne t für die Φ(t) = k <math>\cdot</math> 7 für k = (0),1,2,... gilt.<br>
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| − | Dies sind die Töne die die Kongruenz Φ(t) ≡ 0 mod (7) lösen.<br><br>
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| − | Wenn wir nun k Element [0;12] einsetzen erhalten wir folgendes:<br>
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| − | <div style="green:0px; margin-right:90px; border: solid green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> 0 <math>\cdot</math> 7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c}<br>
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| − | 1 <math>\cdot</math> 7 ≡ 7 mod (12) bedeutet {g}<br>
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| − | 2 <math>\cdot</math> 7 ≡ 2 mod (12) bedeutet {d}<br>
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| − | 3 <math>\cdot</math> 7 ≡ 9 mod (12) bedeutet {a}<br>
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| − | 4 <math>\cdot</math> 7 ≡ 4 mod (12) bedeutet {e}<br>
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| − | 5 <math>\cdot</math> 7 ≡ 11 mod (12) bedeutet {h}<br>
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| − | 6 <math>\cdot</math> 7 ≡ 6 mod (12) bedeutet {fis}<br>
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| − | 7 <math>\cdot</math> 7 ≡ 1 mod (12) bedeutet {cis}<br>
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| − | 8 <math>\cdot</math> 7 ≡ 8 mod (12) bedeutet {gis}<br>
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| − | 9 <math>\cdot</math> 7 ≡ 3 mod (12) bedeutet {dis}<br>
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| − | 10 <math>\cdot</math> 7 ≡ 10 mod (12) bedeutet {ais}<br>
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| − | 11 <math>\cdot</math> 7 ≡ 5 mod (12) bedeutet {f}<br>
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| − | 12 <math>\cdot</math> 7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c}<br><br></div><br><br>
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| − | Wir sehen, dass jeder Rest mod (12) nur einmal vorkommt und dabei die Werte 0,1,...,11 annimmt,
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| − | wobei man für k = 12 wieder am Ausgangston angekommen ist.<ref>vgl. ebenda S.29 f.</ref> <br>Die Reihenfolge ergibt den uns bekannten Quintenzirkel<br><br>
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| − | [[Bild:quintenzirkel1.jpg|450px|]]<br>
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| − | <br><br> Hinter dem Quintenzirkel steht aus mathematischer Sicht der sogenannte [http://mspcdip.mathematik.uni-karlsruhe.de/Blaetter/proseminar/pdf/Chinesischer%20Restsatz.pdf Chinesischen Restsatz] ([http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Ringe:_Chinesischer_Restsatz Beweis des Satzes]).<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/temperierte Stimmung| ''weiter zur gleichstufig temperierten Stimmung'']] <br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]
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| − | <references />
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