2010 III: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Februar 2011, 21:24 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2010 Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik III

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Aufgabe 1

In einer Einbahnstraße mit drei zunächst leeren Fahrspuren schaltet die Ampel auf Rot. Bis zur nächsten Grünphase kommen nacheinander 13 Autos an dieser Ampel zum Stehen.

a) Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn die Autos unterschieden werden?

Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 herannahenden Fahrzeuge hat eine Wahlmöglichkeit zwischen den drei möglichen Haltespuren.

n = 3
k = 13

$n^k = 3^{13} = 1594323\$

Antwort: Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 verschiedene Möglichkeiten sich auf den drei Fahrspuren anzuordnen.

Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.

b) Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen?

Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst.


Das erste Auto, das an die Ampel fährt, kann frei zwischen den drei Fahrspuren wählen.	Bereits das 2. Fahrzeug unterliegt jedoch der Einschränkung, dass es sich nur noch zwischen den zwei noch leeren Fahrspuren entscheiden kann.	Das dritte Fahrzeug hat nur noch die verbleibende Fahrspur zur Auswahl.	Das nachfolgende 4. Auto hingegen hat wieder die volle Auswahlmöglichkeit zwischen allen drei Fahrspuren, da jede der drei Fahrspuren bereits mit einem Fahrzeug belegt ist. Analog wiederholt sich dies bis zum 13. Fahrzeug.

Zusammenfassend lässt sich feststellen:

Drei aufeinanderfolgende Fahrzeuge können sich auf $3\cdot 2\cdot 1 = 3!$ verschiedene Arten an der Ampel anordnen. Diese drei Autos werden nachfolgend zu einer Gruppe zusammengefasst. Bei insgesamt 13 Autos gibt es 4 solche Gruppen zuzüglich dem 13. Auto, das wie im Bild verdeutlicht, erneut 3 Wahlmöglichkeiten hat.

Anzahl der unterscheidbaren Aufteilungen unter Beachtung der Bedingung aus Aufgabe 1b:

$(3\cdot 2\cdot 1)^4\cdot 3 =(3!)^4\cdot 3 = 3888\$

Antwort: Wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen, so ergeben sich 3888 unterscheidbare Anordnungen für die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos.

Aufgabe 2

An einer Ampel stehen Autos hintereinander. Die Ampel schaltet auf Grün. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass ein Auto erst nach einer gewissen zeitlichen Verzögerung gegenüber dem Auto anfährt, das in der Schlange vor ihm steht. Für die möglichen zeitlichen Verzögerungen sind in diesem Modell vier verschiedene Werte vorgesehen. Die folgende Tabelle gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie jeweils eintreten.

Verzögerung in Sekunden	0,5	1,0	1,5	2,0
Wahrscheinlichkeit	0,2	0,5	0,2	0,1

Diese Tabelle gibt auch die im Modell möglichen zeitlichen Verzögerungen zwischen dem Umschalten der Ampel auf Grün und dem Anfahren des ersten Autos sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt.

Betrachtet man die in der Tabelle gegebenen möglichen Verzögerungen für die einzelnen Autos, so zeigt sich, dass lediglich zwei verschiedene Zusammensetzungen der Summe möglich sind, die beim vierten Auto der Schlange eine Verzögerung von 7,0 Sekunden ergeben. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der einzelnen Verzögerungszeiten der Fahrzeuge noch variiert werden kann.

(I) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 2,0 s + 1,0 s

oder
(II) 7,0 s = 2,0 s + 2,0 s + 1,5 s + 1,5 s

Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen: Wie gerade gezeigt, existieren zwei Ereignisse, die als Summe die gewünschten 7,0 Sekunden liefern. Folglich müssen die, zu den Ereignissen gehörigen Wahrscheinlichkeiten addiert werden, um die geforderte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Aus der Tabelle lassen sich die Wahrscheinlichkeiten zu den entsprechenden Verzögerungszeiten ermitteln und einsetzen.

P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = P("Ereignis I tritt ein") + P("Ereignis II tritt ein")

P("Ereignis I tritt ein") = ${4 \choose 3}\cdot (0,1)^3\cdot (0,5)^1 = {4 \choose 1}\cdot (0,5)^1\cdot (0,1)^3 = 0,002$

P("Ereignis II tritt ein") = ${4 \choose 2}\cdot (0,1)^2\cdot (0,2)^2 = 0,0024$

P("genau 7,0 Sekunden Verzögerung beim Anfahren des 4. Autos") = 0,002 + 0,0024 = 0,0044 = 0,44%

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt, beträgt 0,44%.

b) Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von V.

V: Verzögerungen in Sekunden

Berechnung des Erwartungswertes:

$E(V) = 0,5\cdot 0,2 + 1,0 \cdot 0,5 + 1,5\cdot 0,2 + 2,0\cdot 0,1 = 1,1$

Antwort: Der Erwartungswert von V beträgt 1,1. Die mittlere Verzögerung pro Auto beträgt also 1,1 Sekunden.

Berechnung der Varianz:

$Var(V) = (0,5 - 1,1)^2\cdot\ 0,2\ +\ (1,0 - 1,1)^2\cdot\ 0,5\ +\ (1,5 - 1,1)^2\cdot\ 0,2\ +\ (2,0 - 1,1)^2\cdot\ 0,1 = 0,19$

c) Die Zufallsgröße Z beschreibt die Zeit in Sekunden, die vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange vergeht. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig voneinander angenommen werden.

Z: Zeit in Sekunden vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange

Berechnung des Erwartungswerts:

Alle Autos $i \in \{1,2,3,4,5\}$ besitzen die gleiche mittlere Verzögerung $V_i$ , die jeweils gleich dem Erwartungswert von V ist.

$E(V)= E(V_1) = E(V_2) = E(V_3) = E(V_4) = E(V_5)= 1,1\$

Somit folgt:

$E(Z) = E(V_1) + E(V_2) + E(V_3) + E(V_4) + E(V_5) = 5\cdot E(V) = 5\cdot 1,1 = 5,5$

Antwort: Der Erwartungswert für die Zufallsgröße Z beträgt 5,5. Somit wird das fünfte Auto in der Schlange im Mittel 5,5 Sekunden nach dem Umschalten der Ampel auf Grün losfahren.

Berechnung der Standardabweichung:

Alle Autos $i \in \{1,2,3,4,5\}$ besitzen die gleiche Varianz $V_i$ , die jeweils gleich der Varianz von V ist, da das Anfahren der Autos als unabhängig voneinander angenommen wird.

$Var(V) = Var(V_1) = Var(V_2) = Var(V_3) = Var(V_4) = Var(V_5) = 0,19\$

$Var(Z) = Var(V_1)\ +\ Var(V_2)\ +\ Var(V_3)\ +\ Var(V_4)\ +\ Var(V_5)\ =$
$\quad = 5\cdot Var(V) = 5\cdot\ 0,19 = 0,95$
$\sigma(z) = \sqrt{Var(Z)} = \sqrt{0,95} \approx 0,975$

Antwort: Die Standardabweichung von Z beträgt 0,975.

Aufgabe 3

Durch eine Befragung soll der Anteil p der Pkw-Halter abgeschätzt werden, die bereit wären, ein Elektroauto zu kaufen, wenn dies vom Staat mit 2500 € bezuschusst wird. Dazu werden 1000 zufällig ausgewählte Pkw-Halter befragt. Wer mit „Ja“ antwortet, wird als Elektroautokäufer (kurz: EAK) bezeichnet.

a) Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht.

Diese Aufgabe wurde nicht gelöst, da die Ungleichung von Tschebyschow nicht mehr Teil des Lehrplans ist.

b) Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden?

Die Aufgabe 3b) wurde nicht gelöst, da diese Aufgabe die Lösung der Ungleichung von Tschebyschow (Teilaufgabe 3a) voraussetzt, die nicht mehr Teil des Lehrplans ist.

c) Der Finanzminister vertritt die Hypothese, dass der Anteil p höchstens 20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von 220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung.

Signifikanztest

N = 1000
Nullhypothese: $p_0 \le 0,2$
Gegenhypothese: $p_1 > 0,2\$
Signifikanzniveau $\alpha = 0,05\$

Bei dieser Teilaufgabe gibt es zwei mögliche Lösungsansätze.
Einerseits kann man die Entscheidungsregel auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ bestimmen und anschließend untersuchen, ob 220 die Entscheidungsregel erfüllt, andererseits kann man davon ausgehen, dass bei 220 die Nullhypothese abgelehnt wird, somit ist die Entscheidungsregel definiert. Anschließend überprüft man, ob das angegebene Signifikanzniveau mit dieser Entscheidungsregel erfüllt ist.
Variante 1:

	Entscheidungsregel
$p_0 \le 0,2$	$A_0 =\{0;...;k \}\$	$P^{1000}_{0,2}(X>k) \le \alpha$
$p_1 > 0,2\$	$\overline {A_0} =\{k+1;...;1000 \}$

Erwartungswert: $\mu = N \cdot p_0 = 1000\cdot 0,2 = 200$
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{N\cdot p_0 \cdot (1-p_0)} = \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} = \sqrt{160}$

$P^{1000}_{0,2}(X>k) \le \alpha$
$1- P^{1000}_{0,2}(X\le k) \le 0,05$

Nährung mit der Normalverteilung:

$1- \phi \left( \frac{ k- \mu +0,5 }{\sigma} \right)\le 0,05$

$\phi \left( \frac{ k- 200 +0,5 }{\sqrt{160}} \right)\ge 0,95$

$\frac{ k- 199,5}{\sqrt{160}}\ge^{TW} 1,6449$

$k \ge 1,6449\cdot{\sqrt{160}} + 199,5$

$k \ge 220,3$
$k \ge 221$

$A_0 =\{0;...;221 \}\$
$\overline {A_0} =\{222;...;1000 \}$

Antwort: 220 EAK liegen auf dem 5% Signifikanzniveau noch im Annahmebereich $A_0 =\{0;...;221 \}\$ , daher kann die Hypothese des Finanzministers auf einem Signifikanzniveau von 5 % nicht abgelehnt werden!

Variante 2:

	Entscheidungsregel
$p_0 \le 0,2$	$A_0 =\{0;...;219 \}\$	$P^{1000}_{0,2}(X>219)$
$p_1 > 0,2\$	$\overline {A_0} =\{220;...;1000 \}$

Erwartungswert: $\mu = N \cdot p_0 = 1000\cdot 0,2 = 200$
Standardabeweichung: $\sigma = \sqrt{N\cdot p_0 \cdot (1-p_0)} = \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} = \sqrt{160}$

$P^{1000}_{0,2}(X>219) =$ $1- P^{1000}_{0,2}(X\le 219)$

Nährung mit der Normalverteilung:

$\approx 1- \phi \left( \frac{ 219- 200 +0,5 }{\sqrt{160}} \right) =$

$= 1- \phi \left( \frac{ 19,5}{\sqrt{160}}\right)= 1- \phi (1,54) =^{TW} 1- 0,93822 =0,06178 = 6,178% \not\le \alpha$

Antwort: Bei 220 EAK kann $p_0 \le 0,2$ auf dem 5% Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden!

Aufgabe 4

An zwei verschiedenen Stellen A und B in einer Stadt wurden Geschwindigkeitskontrollen durchgeführt. Dabei wurden an der Stelle A dreimal so viele Autos kontrolliert wie an der Stelle B. Die folgenden Tabellen geben Auskunft über die dabei gemachten Beobachtungen (GÜ steht für Geschwindigkeitsübertretung, männlich bzw. weiblich für das Geschlecht des jeweiligen Fahrzeuglenkers):

Stelle A	GÜ	keine GÜ
männlich	4 %	16 %
weiblich	20 %	60 %

Stelle B	GÜ	keine GÜ
männlich	40 %	20 %
weiblich	32 %	8 %

a) Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den Frauen größer ist als unter den Männern.

Bei dieser Aufgabe gilt es die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{w}$ (GÜ) bzw. $P_{m}$ (GÜ) zu bestimmen und zu zeigen, dass sowohl bei Kontrollstelle A als auch bei Stelle B gilt:

$P_{w}$ (GÜ) $> P_{m}$ (GÜ)

Stelle A	GÜ	keine GÜ
männlich	4 %	16 %	20 %
weiblich	20 %	60 %	80 %
	24 %	76 %	100 %

Stelle B	GÜ	keine GÜ
männlich	40 %	20 %	60 %
weiblich	32 %	8 %	40 %
	72 %	28 %	100 %

Anmerkung : GÜ $\widehat{=}$ GU

Betrachtung der Stelle A:

$P_{{w}_A}$ (GÜ) = $\left( \frac{ P(w_{A}\cap GU)}{P(w_{A})}\right) = \left( \frac{ 0,2}{0,2+0,6}\right) = 0,25 = 25%$
$P_{{m}_A}$ (GÜ) = $\left( \frac{ P(m_{A}\cap GU)}{P(m_{A})}\right) = \left( \frac{ 0,04}{0,04+0,16}\right) = 0,2 = 20%$

=> $P_{{w}_A}$ (GÜ) $> P_{{m}_A}$ (GÜ)

Betrachtung der Stelle B:

$P_{{w}_B}$ (GÜ) = $\left( \frac{ P({w}_B\cap GU)}{P({w}_B)}\right) = \left( \frac{ 0,32}{0,32+0,4}\right) = 0,8 = 80%$
$P_{{m}_B}$ (GÜ) = $\left( \frac{ P({m}_B\cap GU)}{P({m}_B)}\right) = \left( \frac{ 0,4}{0,4+0,2}\right) = 0,\overline {6} = 66,\overline {6}%$

=> $P_{{w}_B}$ (GÜ) $> P_{{m}_B}$ (GÜ)

b) Die örtliche Tageszeitung berichtet: „Die Ergebnisse der beiden Geschwindigkeitskontrollen belegen, dass Frauen häufiger zu schnell fahren als Männer.“ Untersuchen Sie, ob der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter allen kontrollierten Frauen tatsächlich größer ist als unter allen kontrollierten Männern.

Nun soll die Gesamtwahrscheinlichkeit für Geschwindigkeitsüberschreitungen unter der Unterscheidung des Geschlechts (Bedingung) untersucht werden. Wie aus der Angabe hervorgeht, werden an der Kontrollstelle A dreimal so viele Personen, wie an Stelle B gemessen, was in die Gesamtbetrachtung mit einzubeziehen ist.

$P_{{w}_{gesamt}}$ (GÜ) = $\left( \frac{ 3\cdot P_{{w}_A}(GU) + P_{{w}_B}(GU)}{3\cdot P_{{w}_A} + P_{{w}_B}}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,2 + 0,32}{3\cdot 0,8 + 0,4}\right) = 0,3286 = 32,86%$
$P_{{m}_{gesamt}}$ (GÜ) = $\left( \frac{ 3\cdot P_{{m}_A}(GU) + P_{{m}_B}(GU)}{3\cdot P_{{m}_A} + P_{{m}_B}}\right) = \left( \frac{ 3\cdot 0,04 + 0,4}{3\cdot 0,2 + 0,6}\right) = 0,4\overline {3} = 43,\overline {3}%$

$P_{{w}_{gesamt}}$ (GÜ) $< P_{{m}_{gesamt}}$ (GÜ)

Antwort: Der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben ist unter allen kontrollierten Frauen tatsächlich kleiner als unter allen kontrollierten Männern!

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 <br>
 Bei dieser Teilaufgabe gibt es zwei mögliche Lösungsansätze.<br>
-Einerseits kann man die Entscheidungsregel auf dem gegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05</math> bestimmen und anschließend untersuchen, ob 220 die Entscheidungsregel erfüllt, andererseits kann man davon ausgehen, dass bei 220 die Nullhypothese abgelehnt wird, somit ist die Entscheidungsregel definiert und anschließend überprüfen, ob das angegebene Signifikanzniveau mit dieser Entscheidungsregel erfüllt ist.
+Einerseits kann man die Entscheidungsregel auf dem gegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha = 0,05</math> bestimmen und anschließend untersuchen, ob 220 die Entscheidungsregel erfüllt, andererseits kann man davon ausgehen, dass bei 220 die Nullhypothese abgelehnt wird, somit ist die Entscheidungsregel definiert. Anschließend überprüft man, ob das angegebene Signifikanzniveau mit dieser Entscheidungsregel erfüllt ist.
 <br>
 '''Variante 1:'''<br>

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