2010 III: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

In einer Einbahnstraße mit drei zunächst leeren Fahrspuren schaltet die Ampel auf Rot. Bis zur nächsten Grünphase kommen nacheinander 13 Autos an dieser Ampel zum Stehen.

a) Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten können sich die 13 nacheinander eintreffenden Autos auf die drei Fahrspuren aufteilen, wenn die Autos unterschieden werden?

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Allgemein:
Aufgrund der Tatsache, dass die einzelnen Autos unterschieden werden, ist zunächst festzustellen, dass die Reihenfolge der Autos mitberücksichtigt werden muss. Jedes der 13 herannahende Fahrzeuge hat eine Wahlmöglichkeit zwischen den drei möglichen Haltespuren.

n = 3
k = 13



Antwort: Die 13 nacheinander an der Ampel eintreffenden Autos haben 1594323 verschieden Möglichkeiten sich auf den drei Fahrspruen anzuordnen.

Die Abbildungen veranschaulichen, dass jedes herannahende Auto unabhängig von den vorherigen Fahrzeugen zwischen den drei Fahrspuren wählen kann.

Analogie aus dem Urnenmodell:

13 durchnummerierte Kugeln werden auf 3 Kistern verteilt, dabei ergeben sich verschiedene Verteilungsmöglichkeiten.

b) Wie viele solche Aufteilungen gibt es, wenn jeder Fahrer eine Fahrspur ansteuert, an der möglichst wenige Autos stehen?

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Im Gegensatz zu Teilaufgabe a) wird die Wahlmöglichkeit des Autos in dieser Teilaufgabe unter Umständen durch die vorherigen Autos beeinflusst.

Das erste Auto, das an die Ampel fährt, kann frei zwischen den drei Fahrspuren wählen.	Bereits das 2 Fahrzeug unterliegt jedoch der Einschränkung, dass es sich nur noch zwischen den zwei noch leeren Fahrspuren entscheinden kann.	Das dritte Fahrzeug hat nur noch die verbleibende Fahrspur zur Auswahl.	Das nachfolgende 4. Auto hingegen hat wieder die volle Auswahlmöglichkeit zwischen allen drei Fahrspuren, da jede der drei Fahrspuren bereits mit einem Fahrzeug belegt ist. Analog wiederhholt sich dies bis zum 13 Fahrzeug.

Zusammendfassend lässt sich also feststellen: Drei aufeinander folgende Fahrzeuge können sich auf 3*2*1=3! verschiedenen Arten an der Ampel anordnen, diese Autos werden zu einer Gruppe zusammengefasst. Bei insgesamt 13 Autos gibt es 4 solcher Gruppen zuzüglich dem 13. Auto, dass wie im Bild unten verdeutlicht erneut 3 Wahlmöglichkeiten hat.

Anzahl der unterscheidbaren Aufteilungen unter Beachtung der Bedingung aus Aufgabe 1b:

Aufgabe 2

An einer Ampel stehen Autos hintereinander. Die Ampel schaltet auf Grün. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass ein Auto erst nach einer gewissen zeitlichen Verzögerung gegenüber dem Auto anfährt, das in der Schlange vor ihm steht. Für die möglichen zeitlichen Verzögerungen sind in diesem Modell vier verschiedene Werte vorgesehen. Die folgende Tabelle gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie jeweils eintreten.

Diese Tabelle gibt auch die im Modell möglichen zeitlichen Verzögerungen zwischen dem Umschalten der Ampel auf Grün und dem Anfahren des ersten Autos sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das vierte Auto in der Schlange 7,0 s nach Beginn der Grünphase anfährt.

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b) Fassen Sie die Verzögerungen in Sekunden als Werte einer Zufallsgröße V auf. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von V.

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c) Die Zufallsgröße Z beschreibt die Zeit in Sekunden, die vom Umschalten der Ampel auf Grün bis zum Anfahren des fünften Autos in der Schlange vergeht. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z. Hierbei sollen die beim Anfahren der fünf Autos auftretenden zeitlichen Verzögerungen als unabhängig voneinander angenommen werden.

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Aufgabe 3

Durch eine Befragung soll der Anteil p der Pkw-Halter abgeschätzt werden, die bereit wären, ein Elektroauto zu kaufen, wenn dies vom Staat mit 2500 € bezuschusst wird. Dazu werden 1000 zufällig ausgewählte Pkw-Halter befragt. Wer mit „Ja“ antwortet, wird als Elektroautokäufer (kurz: EAK) bezeichnet.

a) Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass die relative Häufigkeit der EAK unter den 1000 Befragten um weniger als 5 Prozentpunkte von p abweicht.

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b) Die Umfrage liefert 220 EAK. Welche Aussage über p kann auf Grund der Abschätzung aus Teilaufgabe 3a gemacht werden?

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c) Der Finanzminister vertritt die Hypothese, dass der Anteil p höchstens 20 % beträgt. Kann seine Hypothese bei einem Umfrageergebnis von 220 EAK auf einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden? Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung.

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Aufgabe 4

An zwei verschiedenen Stellen A und B in einer Stadt wurden Geschwindigkeitskontrollen durchgeführt. Dabei wurden an der Stelle A dreimal so viele Autos kontrolliert wie an der Stelle B. Die folgenden Tabellen geben Auskunft über die dabei gemachten Beobachtungen (GÜ steht für Geschwindigkeitsübertretung, männlich bzw. weiblich für das Geschlecht des jeweiligen Fahrzeuglenkers):

a) Zeigen Sie, dass sowohl an der Stelle A als auch an der Stelle B der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter den Frauen größer ist als unter den Männern.

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b) Die örtliche Tageszeitung berichtet: „Die Ergebnisse der beiden Geschwindigkeitskontrollen belegen, dass Frauen häufiger zu schnell fahren als Männer.“ Untersuchen Sie, ob der Anteil derjenigen, die die Geschwindigkeit übertreten haben, unter allen kontrollierten Frauen tatsächlich größer ist als unter allen kontrollierten Männern.

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