Quint-System5: Unterschied zwischen den Versionen

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Da die pythagoreische Tonleiter nur 6 Töne hat berechnet sich die Höhe des 6. Tons wie folgt:<br><br>  <math>H (A_6) = (\frac{9}{8})^6 = 2,02728653;</math><br><br>
 
Da die pythagoreische Tonleiter nur 6 Töne hat berechnet sich die Höhe des 6. Tons wie folgt:<br><br>  <math>H (A_6) = (\frac{9}{8})^6 = 2,02728653;</math><br><br>
 
Da wir uns nun etwas mehr als eine Oktave über unserem Ausgangston befinden, müssen wir diese wieder abziehen um die Abweichen vom Grundton festzustellen.<br><br>
 
Da wir uns nun etwas mehr als eine Oktave über unserem Ausgangston befinden, müssen wir diese wieder abziehen um die Abweichen vom Grundton festzustellen.<br><br>
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<math> 2,02728653 - Ok = \textstyle \frac {2,02728653}{2} = 1,013643265 \leftrightarrow \textstyle \frac{531441}{524288};</math><br><br>
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In der pythagoreischen Tonleiter befinden sich 2 Halbtonschritte. Zusammen sind sie etwas kleiner ein Ganzton, genauer gesagt wenn man von einem Ganzton zwei Halbtonschritte abzieht erhält man das pythagoreische Komma, d.h. <math> \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}</math> = pythagoreisches Komma.
 
In der pythagoreischen Tonleiter befinden sich 2 Halbtonschritte. Zusammen sind sie etwas kleiner ein Ganzton, genauer gesagt wenn man von einem Ganzton zwei Halbtonschritte abzieht erhält man das pythagoreische Komma, d.h. <math> \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}</math> = pythagoreisches Komma.
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Durch eine einfach Umformung lässt sich also die Behauptung A – L bestätigen:
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Durch eine einfach Umformung lässt sich also die Behauptung A – L bestätigen:<br>
 
<math> A = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}; </math>
 
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<math>L = \frac {256}{243};</math>
 
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Für A – L gilt also <math> \frac {\frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}}{\frac {256}{243}} = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}; .</math><br><br>
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Für A – L gilt also <math> \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}: \frac {256}{243} = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}; .</math><br><br>
 
Anmerkung: In der Literatur wird für das pythagoreische Komma oft auch der Wert <math>\textstyle \frac{74}{73}</math> angegeben. Allerdings ist dieser Wert eine Näherung.
 
Anmerkung: In der Literatur wird für das pythagoreische Komma oft auch der Wert <math>\textstyle \frac{74}{73}</math> angegeben. Allerdings ist dieser Wert eine Näherung.
 
Umgerechnet in Cent beträgt das pythagoreische Komma:   
 
Umgerechnet in Cent beträgt das pythagoreische Komma:   

Version vom 20. Dezember 2010, 09:18 Uhr

Das pythagoreische Komma



Nach der 12. Quinte sollte man eigentlich wieder beim Anfangston angelangt sein. 12 Quinten sollten 7 Oktaven entsprechen.
Jedoch gilt für 12 Quinten:

Q^{12} = (\frac{3}{2})^{12} = 129{,}7463379;

für 7 Oktaven gilt:

Ok^7 = 2^7 = 128;

Man sieht, dass die 12 Quinten die 7 Oktaven übertreffen.

Das pythagoreische Komma entspricht dem Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven

\frac {12 Q} {7 Ok} = \frac {(\frac {3}{2})^{12}} {2^7} = \frac {531441}{524288} Alternativ lässt sich das pythagoreische Komma auch durch die Differenz von Aptome und Leimma berechnen.

Leimma ist der oben berechnetet Halbtonschritt (Quarte-Ditonus) = \textstyle \frac {256}{243}

Aptome berechnet sich aus tonus – Leimma (Ganzton-Halbton) = \textstyle \frac {2187}{2048}

Das Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven entspricht der Differenz aus Aptome und Leimma, also

\frac{12Q}{7Ok}= A - L = \frac{2187}{2048} : \frac{256}{243} = \frac{531441}{524288};

Die Differenz aus Aptome und Leimma kann man aus folgender Gegebenheit ableiten:
der letzte Ton der pythagoreischen Tonleiter ist etwas höher als die Oktave. Wir haben oben folgende Formel für die pythagoreische Tonleiter definiert:

H(A_u) = i^u \cdot H(A_o); u = (0),1,2,...,6;

Da die pythagoreische Tonleiter nur 6 Töne hat berechnet sich die Höhe des 6. Tons wie folgt:

H (A_6) = (\frac{9}{8})^6 = 2,02728653;

Da wir uns nun etwas mehr als eine Oktave über unserem Ausgangston befinden, müssen wir diese wieder abziehen um die Abweichen vom Grundton festzustellen.

2,02728653 - Ok = \frac {2,02728653}{2} = 1,013643265 \leftrightarrow \frac{531441}{524288};

In der pythagoreischen Tonleiter befinden sich 2 Halbtonschritte. Zusammen sind sie etwas kleiner ein Ganzton, genauer gesagt wenn man von einem Ganzton zwei Halbtonschritte abzieht erhält man das pythagoreische Komma, d.h. \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2} = pythagoreisches Komma. Durch eine einfach Umformung lässt sich also die Behauptung A – L bestätigen:
A = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}; L = \frac {256}{243}; Für A – L gilt also \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}: \frac {256}{243} = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}; .

Anmerkung: In der Literatur wird für das pythagoreische Komma oft auch der Wert \textstyle \frac{74}{73} angegeben. Allerdings ist dieser Wert eine Näherung. Umgerechnet in Cent beträgt das pythagoreische Komma: C = 1200 \cdot \frac {log\frac {\frac {3}{2}^{12}}{2^7}} {log 2} = 23,460039 \ Cent.

weiter zum pythagoreischen Quintenzirkel und der pythagoreischen C-Dur Tonleiter

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