Quintenzirkel: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sind die Töne t für die Φ(t) = k <math>\cdot</math> 7 für k = (0),1,2,... gilt.<br> | Es sind die Töne t für die Φ(t) = k <math>\cdot</math> 7 für k = (0),1,2,... gilt.<br> | ||
Dies sind die Töne die die Kongruenz Φ(t) ≡ 0 mod (7) lösen.<br><br> | Dies sind die Töne die die Kongruenz Φ(t) ≡ 0 mod (7) lösen.<br><br> | ||
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wobei man für k = 12 wieder am Ausgangston angekommen ist. <br>Die Reihenfolge ergibt den uns bekannten Quintenzirkel<br><br> | wobei man für k = 12 wieder am Ausgangston angekommen ist. <br>Die Reihenfolge ergibt den uns bekannten Quintenzirkel<br><br> | ||
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Version vom 20. Dezember 2010, 04:11 Uhr
Exkurs: Division mit Rest:
„Ist eine Zahl 
gegeben und ist 
, m ≠ 1, eine weiter Zahl, der Divirsor, so kann man n durch m mit Rest dividieren. Das heißt, es gibt eine Zahl k Element Z und einen Rest r, r Element {0, 1, … , m – 1}, so daß
m + rgilt.“
Beispiel:
Für n = 25 und m = 7:
25 = 3 7 + 4; mit 4 
{0,1,2,3,4,5,6};
Dafür schreibt man: n ≡ r mod (m);
Für alle Töne t der Oktavfolge {…,c,c',...} gilt:
Φ(t) = k 12 + 0
Für alle Töne der Oktavfolge {…,cis,cis',...}:
Φ(t) = k 12 +1
„Allgemein wird also der Ton u, das heißt die Oktavfolge {u}, durch den (kleinsten nichtnegativen) Divisionsrest r bei Division durch 12 gekennzeichnet, also durch die für alle Töne der Folge mit einem r Element {0,1,...,11} gemeinsam geltende Kongruenz
Φ(u) ≡ r mod (12).“
u entspricht dem in unserem Beispiel benannten t.
Nun wollen wir die iterierten Quinten über dem Ton c betrachten.
Es sind die Töne t für die Φ(t) = k 7 für k = (0),1,2,... gilt.
Dies sind die Töne die die Kongruenz Φ(t) ≡ 0 mod (7) lösen.
Wenn wir nun k Element [0;12] einsetzen erhalten wir folgendes:
7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c} 1 7 ≡ 7 mod (12) bedeutet {g}
2 7 ≡ 2 mod (12) bedeutet {d}
3 7 ≡ 9 mod (12) bedeutet {a}
4 7 ≡ 4 mod (12) bedeutet {e}
5 7 ≡ 11 mod (12) bedeutet {h}
6 7 ≡ 6 mod (12) bedeutet {fis}
7 7 ≡ 1 mod (12) bedeutet {cis}
8 7 ≡ 8 mod (12) bedeutet {gis}
9 7 ≡ 3 mod (12) bedeutet {dis}
10 7 ≡ 10 mod (12) bedeutet {ais}
11 7 ≡ 5 mod (12) bedeutet {f}
7 ≡ 0 mod (12) bedeutet {c}Wir sehen, dass jeder Rest mod (12) nur einmal vorkommt und dabei die Werte 0,1,...,11 annimmt,
wobei man für k = 12 wieder am Ausgangston angekommen ist.
Die Reihenfolge ergibt den uns bekannten Quintenzirkel
Hinter dem Quintenzirkel steht aus mathematischer Sicht der sogenannte Chinesischen Restsatz (Beweis des Satzes).
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