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Aktuelle Version vom 20. Dezember 2010, 03:09 Uhr
Beweis der Rechenregeln für den Logarithmus
Da dies nur Einzelbeispiele sind, sind die Rechenregeln nun zu beweisen (Aufbauend auf den Potenzgesetzen. Eine Einführung zu den Potenzgesetzen findet sich hier):
Der Logarithmus ist wie folgt definiert:
![\log_b \ (u) = x; \leftrightarrow b^x = u;](/images/math/7/9/0/790ca841a634c6d126266b113a4deffa.png)
![\log_b \ (v) = y; \leftrightarrow b^y = v;](/images/math/b/2/3/b23d622b07c666b5dc9c168a10982b29.png)
Für das Produkt folgt:
Wenn man wieder die Definition des Logarithmus anwendet erhält man:
Wenn nun x und y durch die Werte von oben wieder ersetzt wird, bekommt man:
![\log_b \ (u \cdot v) = \log_b \ (u) + \log_b \ (v)](/images/math/6/c/c/6cc532728be1e6bd564cf4081e79ce6c.png)
Analog folgt für den Quotienten :
Anwendung der Definition des Logarithmus:
x und y ersetzen:
![\log_b \ (\frac {u}{v}) = \log_b \ (u) - \log_b \ (v);](/images/math/b/2/e/b2efc4f3d2b630839fc55fab60e1b1a3.png)
Das Vorziehen des Exponenten:
Anwendung der Definition des Logarithmus:
x ersetzen:
![\log_b \ (u^2) = 2 \cdot \log_b \ (u);](/images/math/e/0/0/e00e30dfaec7a8eb866cb28ebd78e328.png)
Analog ist
![\frac {1}{2} \cdot \log \ u = \log \ \sqrt{u}](/images/math/a/8/a/a8aa906942af1d7a0d4d4a68e74506e1.png)
, da
![\sqrt {u} = u^{0{,}5}](/images/math/3/9/7/397bf5a5d04bd562d2ade49582e7ce7e.png)