2004 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion <math>f:\vec{x}\mapsto \ln\left(\frac{4}{x} -1\right)</math> mit dem maximalen Definitionsbereich D<sub>f</sub> = ]0;4[. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>.
  
  
  
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a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D<sub>f</sub>.  
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a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.  
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b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
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b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>.
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Begründen Sie, dass alle Graphen G<sub>k</sub> einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
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c) Zeigen Sie, dass G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zu Z(2|0) ist.  
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c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
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d) Berechnen Sie <math>f (0,5)</math>. Zeichnen Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte).
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d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert.
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e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt (1|2) verläuft.
  
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Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.
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f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.
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e) Zeigen Sie, dass gilt: <math>g(x) = 4 - \frac{4e^{x} }{1+e^{x} }</math>. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.
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Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander.
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Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.  
  
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Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.
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Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
  
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Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).
  
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Dazu betrachte man die gezeichnete Figur. <math>l(\alpha )</math> ist die Maßzahl der in Meter angegebenen Länge der Strecke [AB] und definiert für 0° < <math>\alpha</math> < 90° die Funktion <math>l</math>.
 
  
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a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
  
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a) Geben Sie an, welche Bedeutung die Maßzahl der gesuchten Länge für die Funktion <math>l</math> hat. Zeigen Sie: <math>l(\alpha ) = \frac{2}{\sin(\alpha ) } + \frac{4}{\cos(\alpha )} </math>.
 
  
 
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b) Berechnen Sie L auf dm genau.  
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Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
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b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.
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Version vom 28. März 2010, 18:42 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern


Erarbeitet von Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} mit der maximalen Definitionsmenge Dk und k \in IR. Gk bezeichnet den Graphen von fk.


a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge Dk. Untersuchen Sie für k \neq 0 das Verhalten von fk für x \to \infty und x \to -\infty. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.


Bild


b) Zeigen Sie, dass gilt: f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } .


Begründen Sie, dass alle Graphen Gk einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.


Bild


c) Skizzieren Sie G-1 und G1 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.


[[Bild:]]


d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von Gk für k \to -\infty und k \to 0 jeweils verändert.


[[Bild:]]


e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass Gk durch den Punkt (1|2) verläuft.

Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph Gk verläuft.


[[Bild:]]




Aufgabe 2

Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 \leq t \leq 10 ist v (t) = 7t * e^{-0,1t} .

Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t0 entspricht dem während der ersten t0 Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).


a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.


[[Bild:]]


Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.


b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.


[[Bild:]]



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