2005 I: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen f_k(x)=(x² + 1 - k)e^-x mit k E |R

Der Graph von f_k wird mit G_kbezeichnet.

a) Untersuchen Sie f_k auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von f_k für x->-8 und x->+8.

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen G_k nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

c) Für welche Werte von k besitzt G_k mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von G_k mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x->2xe^-x mit x E |R liegen.

d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G₁ und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G₂ in die Abbildung ein.