2006 II: Unterschied zwischen den Versionen

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d) Weisen Sie nach, dass für alle <math>k \in IR^{+}</math> und alle <math>x \in IR</math> gilt:  <math>f_k(-x) + f_k(x)=k \,</math>. Begründen Sie damit die Symmetrie von <math>G_k \,</math>  zum Punkt <math>W_k \,</math> .  
  
 
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e) Die beiden  Koordinatenachsen und <math>G_k \,</math>  begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt <math>\ln (2) \,</math>  besitzt.  
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(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit <math>e^{kx}</math>  zu erweitern.)  
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2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit , beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.
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2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit <br />
  
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a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus   der Aufgabe 1 entsteht.  
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<math> N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}}</math> ,<math>x \ge 0</math>, <br />
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beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.
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a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus <math>G_2 \, </math>  der Aufgabe 1 entsteht.  
  
 
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Version vom 18. Februar 2010, 16:29 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

1.Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_k = \frac{k}{1+e^{-kx}}

mit k \in IR^{+} und Definitionsmenge IR \,. G_k \, bezeichnet den Graphen von f_k \,.


a) Untersuchen Sie das Verhalten von f_k \, für x \rightarrow +\infty und x \rightarrow -\infty.


b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f_k \, und geben Sie die Wertemenge an.
[mögliches Zwischenergebnis: f_k ^{'}(x)= \frac{k^{2}e^{-kx}}{(1+e{-kx})^{2}} ]


c) Weisen Sie nach, dass der Punkt W_k (0/\frac{k}{2}) der einzige Wendepunkt von G_k \, ist.


d) Weisen Sie nach, dass für alle k \in IR^{+} und alle x \in IR gilt: f_k(-x) + f_k(x)=k \,. Begründen Sie damit die Symmetrie von G_k \, zum Punkt W_k \, .


e) Die beiden Koordinatenachsen und G_k \, begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt \ln (2) \, besitzt. (Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit e^{kx} \, zu erweitern.)




Aufgabe 2

2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit

N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}} ,x \ge 0,

beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.

a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus G_2 \, der Aufgabe 1 entsteht.


b) Mit wie vielen Bakterien wurde die Kultur angesetzt, wie viele Bakterien sind es nach zwei Stunden?


c) Berechnen Sie, nach welcher Zeit 90 % des Grenzbestandes von 2 Millionen Bakterien erreicht sind.


d) Schätzen Sie rechnerisch ab, wie viele Bakterien in der Minute stärksten Wachstums hinzukommen.




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