Lösung von Teilaufgabe b: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''.
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'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt <span style="color: red">''e<sup>2</sup>''</span>'''.

Version vom 23. Januar 2010, 21:10 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa

1.) Von -\infty < x < a verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von a < x < \infty verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei x = a ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändert für x < a und x > a das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph GFa an der Stell x = a einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

Definiere:

u ( x ) = x - a
u ^{'} ( x ) = 1

v ( x ) = e^{a + 2 - x}
v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}

\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}

=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx
=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}
=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}
\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c

für Interessierte: Der Holzweg

Der Graph von F_a \,( x )

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten

Hinweis: \lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0

Da die Nullstelle der Funktion fa bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f2 bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}

= [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}
= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]
= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]
| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis
= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]
= \, [e^{2}]

Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.

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