Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Erklärung:''' Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um <span style="color: red">3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben)</span> verschoben. <br /> Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)<span style="color: red">+3</span>. <br /> <br />
 
'''Erklärung:''' Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um <span style="color: red">3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben)</span> verschoben. <br /> Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)<span style="color: red">+3</span>. <br /> <br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup> <br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup> <br />
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:::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br />
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:::<span style="color: green">f(2)=8</span> <br />
 
Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>  <math>\rightarrow</math>  h(x)=f(x)+3 <br />
 
Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>  <math>\rightarrow</math>  h(x)=f(x)+3 <br />
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::: h(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
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::: h(2)=<span style="color: green">f(2)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
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::: h(1)=1+3 <br />
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::: h(2)=<span style="color: green">8</span><span style="color: red">+3</span> <br />
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::: h(1)=4 </div>
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::: h(2)=11 </div>
  
  

Version vom 16. Januar 2010, 17:08 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Ungültige Thumbnail-Parameter

Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?


Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.

Beispiel: f(x)=x3
f(2)=8

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben \rightarrow h(x)=f(x)+3

h(2)=f(2)+3
h(2)=8+3
h(2)=11


Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)+a entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).

2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x3+2x2 um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen? Verschiebung zur Seite.png

Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x3+2x2
x=1 \rightarrow f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

j(x)=f(x-3)
j(x)=(x-3) 3+2(x-3)2
j(4)=(4-3)3+2(4-3)2
j(4)=1+2=3=f(1)


Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).


3.Beispielaufagben

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.



Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion:
Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png

a)
Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png

b)
Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png

c)
Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png


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