Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind. | Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind. | ||
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a) Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach oben</span>: <br /> | a) Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach oben</span>: <br /> | ||
:::g(x)=f(x)<span style="color: red">+2</span>='''x<sup>3</sup>+2''' <br /> <br /> | :::g(x)=f(x)<span style="color: red">+2</span>='''x<sup>3</sup>+2''' <br /> <br /> | ||
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:::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br /> | :::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br /> | ||
:::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31''' | :::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31''' | ||
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Version vom 6. Januar 2010, 18:02 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Verschieben von Funktionsgraphen
1.Verschiebung nach oben/unten
Problemstellung:
Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?
Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.
Beispiel: f(x)=x3
- f(1)=1
- f(1)=1
Verschiebung um 3 Einheiten nach oben 
h(x)=f(x)+3
- h(1)=f(1)+3
- h(1)=1+3
- h(1)=4
- h(1)=f(1)+3
Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)+a entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).
2.Verschiebung nach rechts/links
Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x3+2x2 um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen?
Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).
Beispiel: f(x)=x3+2x2
- x=1 f(1)=3
- x=1
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:
- j(x)=f(x-3)
- j(x)=(x-3) 3+2(x-3)2
- j(4)=(4-3)3+2(4-3)2
- j(4)=1+2=3=f(1)
- j(x)=f(x-3)
Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.
Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).
3.Beispielaufagben
Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.
Ausgangsfunktion:
a)
b)
c)
