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Jede Funktion <math>f(x)</math> , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also '''unabhänig von a''' Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
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:Jede Funktion <math>f(x)</math> , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also '''unabhänig von a''' Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
  
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<math>f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right) </math>
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Die andere, wie man im Applet sieht eine doppelte Nullstelle, wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also '''abhängig von a'''. Löst man die Quadratische Gleichung erhält man die zweite Nullstelle.
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:Die andere, wie man im Applet sieht eine doppelte Nullstelle, wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also '''abhängig von a'''. Löst man die Quadratische Gleichung erhält man die zweite Nullstelle.
  
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Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die  Funktion f '(t) = 0
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Da man nun die Gleichung einer quadratischen Gleichung hat, kann man mit Hilfe der "Mitternachtsformel" die beiden Lösungen ausrechnen. Setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein, erhält man die Koordinaten der Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>.
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<math>\rightarrow  t_1 = 2 a \Rightarrow  E_1\left( 2a / 0 \right)</math>
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Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen.
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Da sich hier die Koordinaten E_1 ( 6 / 0 ) und E_2 ( 2 / 8 ) ergeben.
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[[Bild:Extremwerte für a=3.jpg]]

Version vom 30. Dezember 2009, 13:54 Uhr

Funktion, Funktion, wie tief ist das Wasser ?

So wie im täglichen Leben Statistiken oder Tabellen erstellt werden, können auch in der Mathematik sogenannte Funktionen erstellt werden. Diese sind, ähnlich wie bei einer Tabelle, abhängig von zwei meist unterschiedlichen Größen. Bei den mathematischen Funktionen ist es so, dass einer bestimmten Menge auf der x – Achse, eine bestimmte Menge auf der y - Achse zugeordnet wird. Bei rein mathematischen Überlegungen handelt es sich bei den beiden Mengen um den sogenannten x – Wert beziehungsweise y – Wert. Bei Funktionen mit Einheiten, wie zum Beispiel in der Physik der „Waagrechte Wurf“, wird dem x – Wert die Einheit Länge in Meter gegeben und dem y – Wert Höhe in Meter zugeteilt. Jedoch ist zu beachten, dass bei Funktionen jedem x - Wert nur ein y – Wert zugeordnet werden kann. Es ist also nicht möglich, dass eine Funktion mit dem x – Wert x1 zwei y – Werte y1 und y2 hat. Der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Wertetabelle ist lediglich, dass die Funktion eine graphische Abbildung der Wertetabelle darstellt.



Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t, a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 106\frac{m^3}{Monat} und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.


• Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert? Im Applet ist die Funktion als f (x) definiert, nicht als f (t).

Jede Funktion f(x) , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also unabhänig von a Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right)
Die andere, wie man im Applet sieht eine doppelte Nullstelle, wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also abhängig von a. Löst man die Quadratische Gleichung erhält man die zweite Nullstelle.
\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right)


• Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Um die Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * xn-1

Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t
f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2


Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.

Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die Funktion f '(t) = 0

Da man nun die Gleichung einer quadratischen Gleichung hat, kann man mit Hilfe der "Mitternachtsformel" die beiden Lösungen ausrechnen. Setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein, erhält man die Koordinaten der Extremwerte E1 und E2.

\rightarrow t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)

\rightarrow t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)

Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen. Da sich hier die Koordinaten E_1 ( 6 / 0 ) und E_2 ( 2 / 8 ) ergeben.

Extremwerte für a=3.jpg

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