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| − | ==== '''Die Euler'sche Zahl e als Basis der natürlichen Exponentialfunktion''' ====
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| − | e = 2,718281728...
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| − | <br />Die Eulersche Zahl e ist irrational.
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| − | <br /> Unter der Zahl e versteht man den Grenzwert: <br /> e=lim(1+1/n)<sup>n</sup>, dabei geht n gegen unendlich. Dieser Grenzwert ist vom
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| − | <br /> Herleiten der Ableitung der Exponentialfunktion bekannt und wird deshalb als Euler'sche Zahl e bezeichnet.
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| − | <div style="border: 5px solid #FF0000; padding:5px;">
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| | ==== '''Merkmale der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=e<sup>x</sup> ''' ==== | | ==== '''Merkmale der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=e<sup>x</sup> ''' ==== |
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Version vom 28. September 2013, 10:43 Uhr
"In der Welt geschieht nichts, worin man nicht den Sinn
eines bestimmten Maximums oder Minimums erkennen könnte." -Leonhard Euler
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Übersicht
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Wissenswertes
Merkmale der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=ex
- Die natürliche Exponentialfunktion f(x)=ex hat die Ableitungsfunktion f'(x)=ex .
- Eine Stammfunktion ist F(x)=ex + c . (Stammfunktion: F'(x)=f(x))
- Der Graph geht durch den Punkt (0/1).
- Der Graph besitzt keine Nullstellen, da ex > 0 ist. Dies gilt für alle x E R.
- W= R+
- Monotonie: streng monoton steigend; Extremwerte: keine Extremwerte.
- Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.
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Einstiegsaufgaben
Übungen zur natürlichen Exponentialfunktion
1. Einstiegsaufgaben
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.
f(x)=5ex + x
-Ableitung: f'(x)=5ex + 1;
-Steigung: f'(1)=5e+1;
Abituraufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung
weiteres Lernmaterial zur Vorbereitung
Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig:
WIEDERHOLUNG:
-Bemerkung: a,b E |R+ \ {1} und x,y E |R
1. ax * by = ax+y
2. ax/ay = ax-y
3. ax * bx = (a*b)x
4. ax/bx = (a/b)x
5. (ax)y = ax*y
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Differenziere folgende Funktionsterme!
1. f1(x)= e3x-8
2. f2(x)= excosx
3. f3(x)= e-x
4. f4(X)= (x2- 4)ex
Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!
1. f1(x)= 5e2x
2. f2(x)= 3e2x+1
